FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 3.5 m の位置に集中荷重 P が、A から 4.5 m の位置に時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 R_A を求めよ。

L = 5 mP = 40 kN 位置 3.5 mM = 20 kN·m (時計回り) 位置 4.5 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 4 mP = 25 kN 位置 1.5 mw = 4 kN/m（0 から 1 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 10 kN ↓D: 15 kN ↓G: 25 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 60 kN水平荷重 = 15 kN ←

F_AB = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1 m 張り出している。支点間に集中荷重 P₁、C に集中荷重 P₂ が作用する。荷重 P₁ の位置における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP₁ = 60 kN 位置 1.5 mP₂ = 45 kN 位置 5 m支点の位置 x = 0 と x = 4 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用し、さらに集中荷重 P が作用する。はりの最大曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 4 mP = 35 kN 位置 1.5 mw = 10 kN/m（0 から 4 m まで）

M_max = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θ_A をラジアンで求めよ。

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。スパン中央のたわみ δ_mid を求めよ。

P = 22 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

120 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 130 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mm穴の中心: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

120 mm × 150 mm の板に、幅 60 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 45 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 120 mmh = 150 mm切り欠き: 60 × 50 mm穴の中心: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³粘土: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 7 m の過圧密粘土層の C_c = 0.25、C_r = 0.04、e₀ = 0.95 である。中央深さでの有効鉛直応力は 75 kPa であり、圧密降伏応力は 155 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 35 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 7 mC_c = 0.25C_r = 0.04e₀ = 0.95σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 155 kPaΔσ = 35 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 1 m²/年である。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。平均圧密度 90% に対する時間係数は T_v = 0.848 である。この層が圧密度 90% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 5 mc_v = 1 m²/年度U = 90%T_v = 0.848片面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 200 m、内径 250 mm の管内を平均流速 3 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

V = 3 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 100 m、内径 150 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 25 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形のれんが積みの水路の底幅は 3.5 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.6 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.015、水路床勾配は S = 0.0015 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 3.5 my = 1.6 mz = 1.5n = 0.015S = 0.0015

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 3 m、側面勾配 3:1（水平:鉛直）の台形の仕上げたコンクリートの水路は、水深 2.1 m の等流で 58 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.012。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 58 m³/sb = 3 my = 2.1 mz = 3n = 0.012

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 28 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 30 L/s 送っている。ポンプ効率は 60%、これを駆動する電動機の効率は 95% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 30 L/sH = 28 mη_pump = 60%η_motor = 95%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 60 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 17 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 500 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 80% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 60 L/sΔz = 17 mL = 500 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 8η = 80%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €20 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 6% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €20 000g = 1%r = 6%

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

18 年後に €30 000 が欲しいとします。年 5.4%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €30 0005.4% / 12N = 216

A = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €500 000 です。1 年目の末に €28 000 を生み、その後キャッシュフローは永久に年 2% ずつ増加します。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €500 000CF₁ = €28 000g = 2%r = 9%

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は今日 €200 000 です。そのキャッシュフローは 1 年目の末に €20 000 で、10 年目の末の最後のキャッシュフローまで年 3% ずつ増加します。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €200 000CF₁ = €20 000g = 3%n = 10r = 8%

NPV = €

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.2812 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.2812

z =

30.正規分布むずかしい

ライン 1 の製品の質量 X とライン 2 の製品の質量 Y は独立な正規変数です：X は平均 500 g、標準偏差 8 g、Y は平均 490 g、標準偏差 6 g です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 8 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·5 − 40·3.5 − 20 = 0

R_B = 160/5 = 32 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 40 − 32 = 8 kN

答え

R_A = 8 kN

負の反力は下向きに作用します。

2.はりの支点反力

答え: R_B = 9.875 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN、作用点 x̄ = 0.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1.5 + 4·1·0.5

R_B = 39.5/4 = 9.875 kN

ΣF_y = 0: R_A = 29 − 9.875 = 19.13 kN

答え

R_B = 9.875 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 31.67 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 31.67 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 39.58 kN (C), HE: 43.75 kN (C), BF: 23.75 kN (T), CG: 0, DH: 26.25 kN (T), BG: 22.92 kN (C), DG: 18.75 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: F_AB = −56.25 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·3 − 15·4 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 15 = 45 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −45/0.8 = −56.25 kN

答え

F_AB = −56.25 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 39.38 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合いを考えます。張出し部の荷重も A まわりのモーメントに寄与します。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·1.5 + 45·5

R_B = 315/4 = 78.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 78.75 = 26.25 kN

P₁ の位置で切断し、左側を残す

M_x = R_A·1.5 = 26.25·1.5 = 39.38 kN·m

答え

M_x = 39.38 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 51.56 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN、作用点 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1.5 + 10·4·2

R_B = 132.5/4 = 33.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 33.13 = 41.88 kN

V = 0 となるのはどこですか？

V(1.5⁻) = R_A − w·1.5 = 26.88 kN

V(1.5⁺) = 26.88 − 35 = −8.125 kN

荷重の位置でせん断力の符号が変わるので、最大値は荷重の位置にあります。

最大モーメント

M_max = R_A·1.5 − w·1.5²/2 = 41.88·1.5 − 10·1.5²/2 = 51.56 kN·m

答え

M_max = 51.56 kN·m

それは A から x = 1.5 m の位置に生じます。

7.はりのたわみ

答え: θ_A = 0.002894 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

端部のたわみ角

θ_A = wL³/(24EI) = 4·5000³/(24·7.2 × 10¹²) = 0.002894 rad

答え

θ_A = 0.002894 rad

これは 0.1658° です。

8.はりのたわみ

答え: δ_mid = 2.401 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 22000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

中央たわみ

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 22000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·8.4 × 10¹²) = 2.401 mm

答え

δ_mid = 2.401 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 39.69 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2500 = 2500 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39.69 kN

答え

P_cr = 39.69 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 17.27 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/7.5 = 200

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

答え

σ_cr = 17.27 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 78.68 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·100 − 1257·130)/(24000 − 1257) = 98.34 mm

ȳ まわりの全体の板

120·200³/12 + 24000·1.658² = 80.07 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·40⁴/64 + 1257·31.66² = 1.385 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 78.68 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 78.68 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 29.89 × 10⁶ mm⁴

図心

ȳ = (18000·75 − 3000·45)/(18000 − 3000) = 81 mm

ȳ まわりの全体の板

120·150³/12 + 18000·−6² = 34.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

60·50³/12 + 3000·−36² = 4.513 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 29.89 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 29.89 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: u = 19.62 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

答え

u = 19.62 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 71.95 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 15·2 + 18.5·2 + 18·3 = 121 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 121 − 49.05 = 71.95 kPa

答え

σ′ = 71.95 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 23.88 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 75 + 35 = 110 kPa ≤ 155 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.04·7/(1 + 0.95)·log₁₀(110/75) = 23.88 mm

答え

S = 23.88 mm

16.圧密沈下

答え: t = 21.2 年

排水距離

H_dr = H = 5 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·5²/1 = 21.2 年

答え

t = 21.2 年

17.静水圧

答え: F = 101.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·3.75 = 101.2 kN

答え

F = 101.2 kN

18.静水圧

答え: F = 98.04 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.25·3 = 98.04 kN

答え

F = 98.04 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 6.606 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 3²/(2·9.81) = 0.4587 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(200/0.25)·3²/(2·9.81) = 6.606 m

答え

h_f = 6.606 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 2.455 m

速度

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

損失係数

f·L/D = 0.025·100/0.15 = 16.67

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 16.67 + 6.4)·0.102 = 2.455 m

答え

H = 2.455 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 24.67 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·1.6)·1.6 = 9.44 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.6·√(1 + 1.5²) = 9.269 m

R = A/P = 1.018 m

速度

V = (1/0.015)·1.018^2/3·0.0015^1/2 = 2.614 m/s

流量

Q = A·V = 9.44·2.614 = 24.67 m³/s

答え

Q = 24.67 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0009965 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·2.1)·2.1 = 19.53 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2.1·√(1 + 3²) = 16.28 m

R = A/P = 1.2 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·58/(19.53·1.129) = 0.03157

S = 0.03157² = 0.0009965

答え

S = 0.0009965

これは 1 km あたり 0.9965 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 14.46 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·28 = 8.24 kW

軸動力

P_shaft = 8.24/0.6 = 13.73 kW

電力

P_el = 13.73/0.95 = 14.46 kW

答え

P_el = 14.46 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 20.44 kW

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0.1859 = 10.78 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 17 + 10.78 = 27.78 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·27.78/0.8 = 20.44 kW

答え

P_shaft = 20.44 kW

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 400000 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 20 000/(0.06 − 0.01) = 20 000/0.05 = €400 000.00

答え

PV = €400 000.00

26.貨幣の時間価値

答え: A = 82.44 €

月利と積立回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·18 = 216

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0.0045/(2.637 − 1) = €82.44

答え

A = €82.44

27.NPV と IRR

答え: NPV = −100000 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

キャッシュフローの価値

PV = 28 000/(0.09 − 0.02) = 400 000.00

NPV

NPV = 400 000.00 − 500 000 = −€100 000.00

答え

NPV = −€100 000.00

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

28.NPV と IRR

答え: NPV = −48997 €

成長型年金の現在価値

((1.03)/(1.08))¹⁰ = 0.6225

PV = 20 000/(0.08 − 0.03)·(1 − 0.6225) = 151 002.67

NPV

NPV = 151 002.67 − 200 000 = −€48 997.33

答え

NPV = −€48 997.33

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

29.正規分布

答え: z = 0.36

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.2812)/2 = 0.6406

z 表を逆に読む

表の中で 0.6406 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.36

答え

z = 0.36

30.正規分布

答え: P = 0.8413

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

標準化する

z = (0 − 10)/10 = −1

確率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答え

P = 0.8413

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FE Civil 試験対策：直前対策パック

1公式と解法

はりの支点反力

解き方

トラス：節点法

解き方

せん断力と曲げモーメント

解き方

はりのたわみ

柱の座屈

図心と断面二次モーメント

地盤の有効応力

圧密沈下

静水圧

管摩擦と損失水頭

開水路の流れ（マニング）

ポンプとポンプ動力

貨幣の時間価値

解き方

NPV と IRR

解き方

正規分布

解き方

2演習問題

3溶液

A まわりのモーメント

鉛直方向のつり合い

答え

自由体図

つり合い

答え

節点 C

節点法で確認する

答え

支点反力

節点 A

答え

支点反力

P1 の位置で切断し、左側を残す

答え

支点反力

V = 0 となるのはどこですか？

最大モーメント

答え

単位をそろえる

端部のたわみ角

答え

単位をそろえる

中央たわみ

答え

最小の断面二次モーメント

有効座屈長さ

座屈荷重

答え

最小の断面二次モーメント

断面二次半径と細長比

座屈応力

答え

図心

ȳ まわりの全体の板

ȳ まわりの穴

引く

答え

図心

ȳ まわりの全体の板

ȳ まわりの穴

引く

答え

間隙水圧

答え

全応力

間隙水圧

有効応力

答え

圧密降伏応力と比べる

沈下量

答え

排水距離

時間

答え

P₁ の位置で切断し、左側を残す