FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 4 mP₁ = 15 kN 位置 2 mP₂ = 45 kN 位置 2.5 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 4 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 8 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 6 m の位置の集中荷重 P, 部分 CD 全体の等分布荷重 w および A から 3 m の位置の集中荷重 Q である。ローラーの反力 R_D を求めよ。

AC = 4 mAD = 8 mP = 30 kN 位置 6 mw = 4 kN/m（4 から 8 m まで）Q = 75 kN 位置 3 m

R_D = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 20 kN

F_BC = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 45 kN水平荷重 = 25 kN →

F_BC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 3.5 m の断面におけるせん断力 V_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 12 kN/m（0 から 10 m まで）x = 3.5 m

V_x = kN

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 A から支点間の反曲点（曲げモーメントの符号が変わる点）までの距離 x_c を求めよ。

L = 7.5 mw = 5 kN/m（0 から 7.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 5 m

x_c = m

7.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 5 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 21 kNw = 12 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 5 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 5 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 180 mm、外高は H = 325 mm、壁厚は一様に t = 18 mm である。水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

B = 180 mmH = 325 mmt = 18 mm

r = mm

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

120 mm × 240 mm の板に、幅 60 mm、高さ 50 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 72 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 120 mmh = 240 mm切り欠き: 60 × 50 mm穴の中心: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 4 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 17.5 kN/m³

u = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 4 m の過圧密粘土層の C_c = 0.25、C_r = 0.05、e₀ = 0.7 である。中央深さでの有効鉛直応力は 90 kPa であり、過圧密比は OCR = 2.5 である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 40 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 4 mC_c = 0.25C_r = 0.05e₀ = 0.7σ′₀ = 90 kPaOCR = 2.5Δσ = 40 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 2.5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 1.2 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 80% に対する時間係数は T_v = 0.567 である。この層が圧密度 80% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 2.5 mc_v = 1.2 m²/年度U = 80%T_v = 0.567両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 200 m、内径 50 mm の水平管内を 2.6 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2.6 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 150 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 60 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 600 mm のコンクリート製雨水管が半満流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.004 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 600 mmn = 0.013S = 0.004

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 600 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.6 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 600 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

試験で、ポンプが揚程 18 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 50 L/s 送り、そのとき軸動力は 11.3 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 50 L/sH = 18 mP_shaft = 11.3 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 9 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 150 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 9 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 6p_tank = 150 kPa

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

ある不動産は来年 €5 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 2% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 4% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C₁ = €5 000g = 2%r = 4%

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

7 年後に €20 000 が欲しいとします。年 5.4%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €20 0005.4% / 12N = 84

A = €

27.NPV と IRRふつう

€20 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€6 000, €5 000, €10 000。資本コストは 12% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 000CF₃ = 10 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €40 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €28 000, €25 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 000CF₂ = 25 500

IRR = %

29.正規分布ふつう

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。70 から 107.5 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 100σ = 15x₁ = 70x₂ = 107.5

P =

30.正規分布むずかしい

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。色つきの上位 85% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 35.63 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·2 + 45·2.5

R_B = 142.5/4 = 35.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 35.63 = 24.38 kN

答え

R_B = 35.63 kN

2.はりの支点反力

答え: R_D = 23 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

W = 4·4 = 16 kN 位置 2 m 起点 C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 30·2 + 16·2

R_D = 23 kN

V_C = 46 − 23 = 23 kN

答え

R_D = 23 kN

3.トラス：節点法

答え: F_BC = −7.071 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 20·1 → C_y = 5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 5 = 15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −5/0.7071 = −7.071 kN

答え

F_BC = −7.071 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: F_BC = −51.71 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 + 25·2 → C_y = 46.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 46.25 = −1.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −46.25/0.8944 = −51.71 kN

答え

F_BC = −51.71 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: V_x = 18 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = R_A − （切断面より左の下向き荷重すべて）

V_x = 60 − 12·3.5 = 18 kN

答え

V_x = 18 kN

6.せん断力と曲げモーメント

答え: x_c = 3.75 m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·7.5 = 37.5 kN、作用点 x̄ = 3.75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·7.5·3.75

R_B = 140.6/5 = 28.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37.5 − 28.13 = 9.375 kN

モーメント 0 の位置

支点間では M(x) = R_A·x − w·x²/2。x = 0 を除くと、x = 2R_A/w で 0 になります。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·9.375/5 = 3.75 m

答え

x_c = 3.75 m

7.はりのたわみ

答え: δ = 1.389 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·7.2 × 10¹²) = 1.389 mm

答え

δ = 1.389 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 2.454 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 21000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm, EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·1500³/(48·9.24 × 10¹¹) = 1.598 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 0.8561 mm

足し合わせる

δ_max = 1.598 + 0.8561 = 2.454 mm

答え

δ_max = 2.454 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 197.7 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1750² = 197744 N = 197.7 kN

答え

P_cr = 197.7 kN

10.柱の座屈

答え: d = 34.36 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 34.36 mm

答え

d = 34.36 mm

確認：細長比 KL/r は 349.3 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: r = 115.5 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = I_c + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

b = 144 mm, h = 289 mm

A = BH − bh = 180·325 − 144·289 = 16884 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2.253 × 10⁸ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(2.253 × 10⁸/16884) = 115.5 mm

答え

r = 115.5 mm

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 129.9 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (28800·120 − 3000·72)/(28800 − 3000) = 125.6 mm

ȳ まわりの全体の板

120·240³/12 + 28800·−5.581² = 139.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

60·50³/12 + 3000·−53.58² = 9.238 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 129.9 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 129.9 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 47.07 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 20.5·3 = 76.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 76.5 − 29.43 = 47.07 kPa

答え

σ′ = 47.07 kPa

14.地盤の有効応力

答え: u = 68.67 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·7 = 68.67 kPa

答え

u = 68.67 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 18.79 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2.5·90 = 225 kPa

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 90 + 40 = 130 kPa ≤ 225 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·4/(1 + 0.7)·log₁₀(130/90) = 18.79 mm

答え

S = 18.79 mm

16.圧密沈下

答え: t = 0.7383 年

排水距離

H_dr = H/2 = 2.5/2 = 1.25 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·1.25²/1.2 = 0.7383 年

答え

t = 0.7383 年

17.静水圧

答え: F = 103 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

答え

F = 103 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 3.714 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.5·9 = 316.7 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 6.75/(3.5·9) = 3.714 m

答え

y_cp = 3.714 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 297.4 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(200/0.05)·2.6²/(2·9.81) = 30.32 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·30.32 = 297440 Pa = 297.4 kPa

答え

Δp = 297.4 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 1.157 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.04909 = 1.222 m/s

V²/(2g) = 0.07615 m

損失係数

f·L/D = 0.018·150/0.25 = 10.8

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 10.8 + 3.4)·0.07615 = 1.157 m

答え

H = 1.157 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.1942 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.1414 m², R = D/4 = 0.15 m

速度

V = (1/0.013)·0.15^2/3·0.004^1/2 = 1.373 m/s

流量

Q = A·V = 0.1414·1.373 = 0.1942 m³/s

答え

Q = 0.1942 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0007634 m/m

径深

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.2823)² = 0.0007634

答え

S = 0.0007634

これは 1 km あたり 0.7634 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: η = 78.13 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·18 = 8.829 kW

効率

η = P_h/P_shaft = 8.829/11.3 = 78.13%

答え

η = 78.13%

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 29.91 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11 + 6)·0.3305 = 5.619 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 15.29 + 5.619 = 29.91 m

答え

H = 29.91 m

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 250000 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0.04 − 0.02) = 5 000/0.02 = €250 000.00

答え

PV = €250 000.00

26.貨幣の時間価値

答え: A = 196.5 €

月利と積立回数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·7 = 84

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0.0045/(1.458 − 1) = €196.45

答え

A = €196.45

27.NPV と IRR

答え: NPV = −3539 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 6 000/1.12 = 5 357.14

CF₂/(1 + 0.12)² = 5 000/1.254 = 3 985.97

CF₃/(1 + 0.12)³ = 10 000/1.405 = 7 117.80

合計する

NPV = €−3 539.09

答え

NPV = €−3 539.09

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 22.18 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 1 041.67

NPV(25%) = −1 280.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·1 041.67/(1 041.67 − (−1 280.00)) = 22.24%

正確な値: NPV(22.18%) = 0 → IRR = 22.18%

答え

IRR = 22.18%

29.正規分布

答え: P = 0.6687

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (70 − 100)/15 = −2

z₂ = (107.5 − 100)/15 = 0.5

間の面積

P = Φ(0.5) − Φ(−2) = 0.6915 − 0.02275 = 0.6687

答え

P = 0.6687

30.正規分布

答え: x = 170.7 cm

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.15

表からの z

z ≈ −1.04

元の単位に戻す

x = 178 − 1.04·7 = 170.7 cm

答え

x = 170.7 cm

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