FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

地盤の有効応力

全応力
σ = Σγi·hi
間隙水圧
u = γw·(z − zw)
有効応力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最終応力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
過圧密、σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
過圧密比
OCR = σ′p/σ′0
圧密時間
t = Tv·Hdr²/cv
排水距離
Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値
FV = PV·(1 + i)n
現在価値
PV = FV/(1 + i)n
年に複数の期間
i = r/m, N = m·n
年金現価
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金終価
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

解き方

  1. すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
  2. 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
  3. 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
  4. 答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
均等なキャッシュフロー
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部収益率
NPV = 0 となる r
判断
NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

  1. すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
  2. 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
  3. それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
  4. IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 35 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?1.5 m1.5 m1 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 4 mP1 = 35 kN 位置 1.5 mP2 = 60 kN 位置 3 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 4 kN/mP = 15 kNABRA​ = ?RB​3 m1 m0.5 m1.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RA を求めよ。

L = 6 mP = 15 kN 位置 4.5 mw = 4 kN/m（3 から 4 m まで）
RA = kN
3.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB20 kN5 m4 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 2 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 20 kN
FBC = kN
4.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB30 kN30 kN4 m1 m4 m

節点法を使って部材 AC の軸力 FAC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 30 kN →
FAC = kN
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 4 kN/mP = 70 kNAB断面2 m2 m1 m

片持ちばりは A で固定されている。全長に等分布荷重 w が作用し、A から 4 m の位置に集中荷重 P が作用する。 固定端 A から x = 2 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。 下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 70 kN 位置 4 mw = 4 kN/m（0 から 5 m まで）x = 2 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
6 kN/m20 kN25 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

20 kN @ 6 m25 kN @ 3 m6 kN/m, 0–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.はりのたわみふつう
w = 10 kN/mδL = 5 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
P = 10 kNABδ3.5 m1.5 m

単純ばりの支点 B から b = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 はりの最大たわみ δmax を求めよ。

P = 10 kNb = 1.5 mL = 5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 5 m25 × 60 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 75 kNL = 5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 75 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 75 kNn = 2.5L = 5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.図心と断面二次モーメントふつう
2802028010x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
3003026016xM = 5 kN·m寸法の単位：mm

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 5 kN·m を受ける。 下端の曲げ応力 σ下端 を求めよ。

bf = 300 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 260 mmM = 5 kN·m
σ下端 = MPa
13.地盤の有効応力ふつう
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³10 m地下水位Xz = 7 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 7 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³
σ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
砂γd​ = 17 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³4 m粘土γsat​ = 18.5 kN/m³5 m地下水位Xz = 6.5 m

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 6.5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 17 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³粘土: γsat = 18.5 kN/m³
u = kPa
15.圧密沈下ふつう
Δσ = 140 kPa砂粘土Cc​ = 0.4, Cr​ = 0.06e0​ = 1.15σ′0​ = 55 kPaσ′p​ = 155 kPa6.5 m地下水位

厚さ 6.5 m の過圧密粘土層の Cc = 0.4、Cr = 0.06、e₀ = 1.15 である。中央深さでの有効鉛直応力は 55 kPa であり、 圧密降伏応力は 155 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 140 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 6.5 mCc = 0.4Cr = 0.06e0 = 1.15σ′0 = 55 kPaσ′p = 155 kPaΔσ = 140 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
砂粘土H = 9 mcv​ = 1.2 m²/年度9 m不透水性の岩盤地下水位

厚さ 9 m の粘土層の圧密係数は cv = 1.2 m²/年である。 不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。 平均圧密度 80% に対する時間係数は Tv = 0.567 である。この層が圧密度 80% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 9 mcv = 1.2 m²/年度U = 80%Tv = 0.567片面排水
t = 年
17.静水圧ふつう
ゲートd = 2 mH = 2 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
ゲートd = 0.5 mH = 1.5 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管摩擦と損失水頭ふつう
Q = 60 L/sD = 300 mmL = 300 mf = 0.018

水が、長さ 300 m、内径 300 mm の管内を 60 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

Q = 60 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 10Δz = 15 mL = 150 m, D = 100 mm, f = 0.024× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 15 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 15 mL = 150 mD = 100 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
b = 2.5 my = 1.3 m1 : 1n = 0.03, S = 0.004

台形の芝で覆われた土の水路の底幅は 2.5 m、側面勾配は 1:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.3 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.004 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 2.5 my = 1.3 mz = 1n = 0.03S = 0.004
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
b = 5 my = 2 m2 : 1n = 0.03, Q = 28 m³/s

底幅 5 m、側面勾配 2:1（水平:鉛直）の台形の芝で覆われた土の水路は、 水深 2 m の等流で 28 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 28 m³/sb = 5 my = 2 mz = 2n = 0.03
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 15 L/sH = 18 m

ポンプが揚程 18 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 15 L/s 送っている。ポンプ効率は 85%、これを駆動する電動機の効率は 88% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。

Q = 15 L/sH = 18 mηpump = 85%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 80 L/sΔz = 8 mL = 400 m, D = 200 mm, f = 0.02, ΣK = 4

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 8 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 75% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 8 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 4η = 75%
Pshaft = kW
25.貨幣の時間価値ふつう
年0123…9PV = ?€20 000+1.5%+1.5%…r = 4.5%

ある不動産は来年 €20 000 の純賃料を生むと見込まれています。賃料は永久に年 1.5% ずつ増加すると見込まれています。要求収益率は年 4.5% です。この不動産の今日の価値 PV を求めなさい。

C1 = €20 000g = 1.5%r = 4.5%
PV = €
26.貨幣の時間価値むずかしい
か月0123…264€50€50€50FV = ?

22 年間、毎月末に €50 を積み立てます。口座の利率は年 3.6%、月複利です。最後にいくら貯まりますか？FV を求めなさい。

A = €503.6% / 12N = 264
FV = €
27.NPV と IRRふつう
年0123456−50 00017 50020 50016 00010 50020 00014 000

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、1 年目から 6 年目の各年末に €17 500, €20 500, €16 000, €10 500, €20 000, €14 000 を生みます。資本コストは 10% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 10%CF0 = −50 000CF1 = 17 500CF2 = 20 500CF3 = 16 000CF4 = 10 500CF5 = 20 000CF6 = 14 000
DPB = 年
28.NPV と IRRむずかしい
年012−25 00016 00011 500

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €16 000, €11 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 11 500
IRR = %
29.正規分布ふつう
−3−2−10123zz の右側の色つき面積 = 0.9418

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.9418 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9418
z =
30.正規分布むずかしい
μ = 178x = ?80%

成人男性の身長は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。全体の 80% がそれより下にある値 x（第 80 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 58.13 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 35 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​1.5 m1.5 m1 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 35·1.5 + 60·3
RB = 232.5/4 = 58.13 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 58.13 = 36.88 kN

答え

RB = 58.13 kN
2.はりの支点反力

答え: RA = 5.417 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 4 kN/mP = 15 kNABRA​RB​3 m1 m0.5 m1.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN、作用点 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·4.5 + 4·1·3.5
RB = 81.5/6 = 13.58 kN
ΣFy = 0: RA = 19 − 13.58 = 5.417 kN

答え

RA = 5.417 kN
3.トラス：節点法

答え: FBC = −17.89 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·5 = 20·4 → Cy = 16 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 16 = 4 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −16/0.8944 = −17.89 kN

答え

FBC = −17.89 kN (圧縮)
4.トラス：節点法

答え: FAC = 28.13 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB30 kN30 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 + 30·4 → Cy = 37.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 37.5 = −7.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −37.5/0.8 = −46.88 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−46.88)·0.6 = 28.13 kN

答え

FAC = 28.13 kN (引張)
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = −158 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

自由端側を残す

P: −70·2 = −140 kN·m
w: −4·3²/2 = −18 kN·m
Mx = −140 − 18 = −158 kN·m

答え

Mx = −158 kN·m

負は上側引張の曲げ（負の曲げ）を意味します：上面が引張です。

6.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 21 kN, R2 = 54 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 18, MC = 30, MD = 36 kN·m, ME = 11, MF = −20, MG = 0

答え

点 D: MD = 36 kN·m
7.はりのたわみ

答え: δmax = 7.139 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·5000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 7.139 mm

答え

δmax = 7.139 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 2.486 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 10000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

最大たわみ

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 2.486 mm

答え

δmax = 2.486 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 24.67 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/2500² = 24674 N = 24.67 kN

答え

Pcr = 24.67 kN
10.柱の座屈

答え: d = 69.78 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·75000 = 187500 N
KL = 0.7·5000 = 3500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 69.78 mm

答え

d = 69.78 mm

確認：細長比 KL/r は 200.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 60.48 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
ウェブ: Aw = 10·280 = 2800 mm², yw = 280/2 = 140 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·290 + 2800·140)/8400 = 240 mm

平行軸の定理

フランジ: 280·20³/12 + 5600·(290 − 240)² = 1.419 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 10·280³/12 + 2800·(140 − 240)² = 4.629 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.419 × 10⁷ + 4.629 × 10⁷ = 6.048 × 10⁷ mm⁴ = 60.48 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 60.48 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: σ下端 = 13.65 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 300·30 = 9000 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
ウェブ: Aw = 16·260 = 4160 mm², yw = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (9000·275 + 4160·130)/13160 = 229.2 mm

平行軸の定理

フランジ: 300·30³/12 + 9000·(275 − 229.2)² = 1.958 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 16·260³/12 + 4160·(130 − 229.2)² = 6.434 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.958 × 10⁷ + 6.434 × 10⁷ = 8.393 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 229.2 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·229.2/8.393 × 10⁷ = 13.65 MPa

答え

σ下端 = 13.65 MPa
13.地盤の有効応力

答え: σ = 136.5 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16.5·1 + 20·6 = 136.5 kPa

答え

σ = 136.5 kPa
14.地盤の有効応力

答え: u = 53.96 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa

答え

u = 53.96 kPa
15.圧密沈下

答え: S = 202.2 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′f = 55 + 140 = 195 kPa > 155 kPa

沈下量

σ′p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.06·6.5/(1 + 1.15)·log₁₀(155/55) + 0.4·6.5/(1 + 1.15)·log₁₀(195/155)
S = 81.62 + 120.6 = 202.2 mm

答え

S = 202.2 mm
16.圧密沈下

答え: t = 38.27 年

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

排水距離

Hdr = H = 9 m

時間

t = Tv·Hdr²/cv = 0.567·9²/1.2 = 38.27 年

答え

t = 38.27 年
17.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
ゲートd = 2 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN
18.静水圧

答え: ycp = 1.4 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
ゲートd = 0.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.25·1.5 = 23.18 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.25 + 0.2813/(1.25·1.5) = 1.4 m

答え

ycp = 1.4 m
19.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 0.661 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.06/0.07069 = 0.8488 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 0.8488²/(2·9.81) = 0.03672 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(300/0.3)·0.8488²/(2·9.81) = 0.661 m

答え

hf = 0.661 m
20.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 20.62 L/s

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失係数

f·L/D = 0.02·150/0.1 = 30
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

15 = (30 + 12.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·15/42.7) = 2.625 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 2.625·0.007854 = 0.02062 m³/s = 20.62 L/s

答え

Q = 20.62 L/s
21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 8.973 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 1·1.3)·1.3 = 4.94 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·1.3·√(1 + 1²) = 6.177 m
R = A/P = 0.7997 m

速度

V = (1/0.03)·0.79972/3·0.0041/2 = 1.816 m/s

流量

Q = A·V = 4.94·1.816 = 8.973 m³/s

答え

Q = 8.973 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.001549 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (5 + 2·2)·2 = 18 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2·√(1 + 2²) = 13.94 m
R = A/P = 1.291 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.03·28/(18·1.186) = 0.03936
S = 0.03936² = 0.001549

答え

S = 0.001549

これは 1 km あたり 1.549 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: Pel = 3.541 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·18 = 2.649 kW

軸動力

Pshaft = 2.649/0.85 = 3.116 kW

電力

Pel = 3.116/0.88 = 3.541 kW

答え

Pel = 3.541 kW
24.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 23.59 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 4)·0.3305 = 14.54 m

ポンプ揚程

H = Δz + hL = 8 + 14.54 = 22.54 m

軸動力

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·22.54/0.75 = 23.59 kW

答え

Pshaft = 23.59 kW
25.貨幣の時間価値

答え: PV = 666667 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

成長型永久年金

PV = C1/(r − g) = 20 000/(0.045 − 0.015) = 20 000/0.03 = €666 666.67

答え

PV = €666 666.67
26.貨幣の時間価値

答え: FV = 20087 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

月利と積立回数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·22 = 264

積立金の将来価値

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(2.205 − 1)/0.003 = €20 086.53

答え

FV = €20 086.53

自分で払い込んだのは €13 200。残りは利息です。

27.NPV と IRR

答え: DPB = 3.715 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 17 500/1.1 = 15 909.09 → Σ = 15 909.09
年度 2: 20 500/1.21 = 16 942.15 → Σ = 32 851.24
年度 3: 16 000/1.331 = 12 021.04 → Σ = 44 872.28
年度 4: 10 500/1.464 = 7 171.64 → Σ = 52 043.92

最後の年の端数

DPB = 3 + 5 127.72/7 171.64 = 3.715

答え

DPB = 3.715 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（2.75 年）より長くなります。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 6.993 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(5%) = 668.93
NPV(10%) = −950.41

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 5 + 5·668.93/(668.93 − (−950.41)) = 7.065%
正確な値: NPV(6.993%) = 0 → IRR = 6.993%

答え

IRR = 6.993%
29.正規分布

答え: z = −1.57

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.9418 = 0.0582

z 表を逆に読む

表の中で 0.0582 を見つけ、z を読み取ります。

z = −1.57

答え

z = −1.57
30.正規分布

答え: x = 183.9 cm

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

x に戻す

x = 178 + 0.8416·7 = 183.89 cm

答え

x = 183.89 cm

これは独自の練習教材です。ExamProblems はこの試験を実施する団体とは提携しておらず、その承認も受けていません。試験名は内容を説明するためにのみ使用しています。 FE examはNCEESが実施する試験です。同団体はExamProblemsと提携しておらず、推奨もしていません。

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