FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 6 mP₁ = 40 kN 位置 2 mP₂ = 30 kN 位置 3.5 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 0 で自由端 B で 8 kN/m まで直線的に増加する分布荷重と、壁から 3 m の位置の集中荷重 P が作用する。壁における反力モーメント M_A の大きさを求めよ。

L = 8 mw₀ = 8 kN/mP = 25 kN 位置 3 m

M_A = kN·m

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

F: 25 kN ↓H: 40 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 25 kN水平荷重 = 30 kN →

F_BC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

55 kN @ 8 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 10 kN 位置 2.5 mw = 10 kN/m（0 から 5 m まで）x = 2.5 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が作用する。自由端のたわみ δ を求めよ。

w = 4 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント I_req を求めよ。

w = 4 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が両端固定である。座屈に対する安全率 3 で 140 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 140 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 160 mm の底板と、全高 140 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 16 mm である。下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。

b = 160 mmh = 140 mmt = 16 mm

ȳ = mm

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 20 kN·m を受ける。上端の曲げ応力 σ_上端の大きさを求めよ。

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 20 kN·m

σ_上端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³粘土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 7 m の過圧密粘土層の C_c = 0.5、C_r = 0.03、e₀ = 0.7 である。中央深さでの有効鉛直応力は 50 kPa であり、圧密降伏応力は 130 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 170 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 7 mC_c = 0.5C_r = 0.03e₀ = 0.7σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 130 kPaΔσ = 170 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 19 mm の粘土供試体が 10 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 4.5 m の層をなしている。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 19 mmt_lab = 10 minH = 4.5 m現場：両面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 300 m、内径 250 mm の水平管内を 1.2 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.2 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 13 m 高い。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 13 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形のきれいな土の水路の底幅は 2.5 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.4 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.022、水路床勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 2.5 my = 1.4 mz = 1.5n = 0.022S = 0.0008

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 2.5 m、側面勾配 1.5:1（水平:鉛直）の台形のれんが積みの水路は、水深 1.7 m の等流で 13 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.015。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 13 m³/sb = 2.5 my = 1.7 mz = 1.5n = 0.015

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 62 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 60 L/s 送っている。ポンプ効率は 70%、これを駆動する電動機の効率は 90% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 60 L/sH = 62 mη_pump = 70%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 25 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 80 L/sΔz = 25 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

6 年後に €40 000 が必要です。口座の利率は年 2%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €40 0002% / 12n = 6

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€150 000 のローンを、年 3.6%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €150 0003.6% / 12N = 240

I = €

27.NPV と IRRふつう

€30 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€7 000, €12 000, €11 000, €14 000。資本コストは 7.000000000000001% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −30 000CF₁ = 7 000CF₂ = 12 000CF₃ = 11 000CF₄ = 14 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €15 000, €16 000, €23 500, €22 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 6% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 6%CF₀ = −50 000CF₁ = 15 000CF₂ = 16 000CF₃ = 23 500CF₄ = 22 000

MIRR = %

29.正規分布ふつう

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。248.5 から 257.75 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 250σ = 5x₁ = 248.5x₂ = 257.75

P =

30.正規分布むずかしい

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。全体の 99% がそれより下にある値 x（第 99 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 250σ = 5P = 99%

x = g

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 39.17 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2 + 30·3.5

R_B = 185/6 = 30.83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 30.83 = 39.17 kN

答え

R_A = 39.17 kN

2.はりの支点反力

答え: M_A = 245.7 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 R_A と反力モーメント M_A を与えます。ΣF_y = 0 から R_A が、壁まわりのモーメントから M_A = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·8·8 = 32 kN

x̄ = 2L/3 = 5.333 m

壁まわりのモーメント

M_A = W·x̄ + P·a = 32·5.333 + 25·3 = 245.7 kN·m

答え

M_A = 245.7 kN·m

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 28.75 kN (T), BC: 32.5 kN (T), CD: 32.5 kN (T), DE: 36.25 kN (T), FG: 28.75 kN (C), GH: 36.25 kN (C), AF: 40.66 kN (C), HE: 51.27 kN (C), BF: 3.75 kN (T), CG: 0, DH: 3.75 kN (C), BG: 5.303 kN (C), DG: 5.303 kN (T)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: F_BC = −38.31 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 + 30·2 → C_y = 21.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 21.25 = 3.75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21.25/0.5547 = −38.31 kN

答え

F_BC = −38.31 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 66.33 kN, R₂ = 84.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 116.7, M_C = 201.3, M_D = 254, M_E = 274.7 kN·m, M_F = 153.3, M_G = 0

答え

点 E: M_E = 274.7 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 43.75 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·2.5 + 10·5·2.5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 30·2.5 − 10·2.5·1.25 = 43.75 kN·m

答え

M_x = 43.75 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ = 1.739 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·4.6 × 10¹²) = 1.739 mm

答え

δ = 1.739 mm

8.はりのたわみ

答え: I_req = 4.185 × 10⁶ mm⁴

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·2500⁴/(384·70000·6.944) = 4.185 × 10⁶ mm⁴

I_req = 4.185 × 10⁶ mm⁴

答え

I_req = 4.185 × 10⁶ mm⁴

9.柱の座屈

答え: P_cr = 126.6 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1400² = 126556 N = 126.6 kN

答え

P_cr = 126.6 kN

10.柱の座屈

答え: d = 55.88 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 55.88 mm

答え

d = 55.88 mm

確認：細長比 KL/r は 107.4 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: ȳ = 50.55 mm

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

長方形に分割

底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。

基剤: A₁ = 160·16 = 2560 mm², y₁ = 8 mm

2 本の脚: A₂ = 2·16·124 = 3968 mm², y₂ = 16 + 124/2 = 78 mm

図心

ȳ = (2560·8 + 3968·78)/6528 = 50.55 mm

答え

ȳ = 50.55 mm

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_上端 = 18.92 MPa

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

ウェブ: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·275 + 3640·130)/10240 = 223.5 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·30³/12 + 6600·(275 − 223.5)² = 1.803 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 14·260³/12 + 3640·(130 − 223.5)² = 5.23 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.803 × 10⁷ + 5.23 × 10⁷ = 7.033 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 290 − 223.5 = 66.54 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·66.54/7.033 × 10⁷ = 18.92 MPa

答え

σ_上端 = 18.92 MPa

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 101.6 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·3 + 19·6 = 160.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 160.5 − 58.86 = 101.6 kPa

答え

σ′ = 101.6 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 71.76 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 16.5·2 + 20.5·2 + 18.5·2 = 111 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 111 − 39.24 = 71.76 kPa

答え

σ′ = 71.76 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 521.7 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 50 + 170 = 220 kPa > 130 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.03·7/(1 + 0.7)·log₁₀(130/50) + 0.5·7/(1 + 0.7)·log₁₀(220/130)

S = 51.26 + 470.4 = 521.7 mm

答え

S = 521.7 mm

16.圧密沈下

答え: t = 389.5 日

排水距離

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 4.5/2 = 2.25 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 10·(2.25/0.0095)² = 560942 min

t_field = 560942/1440 = 389.5 日

答え

t = 389.5 日

17.静水圧

答え: F = 82.77 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·2.25 = 82.77 kN

答え

F = 82.77 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 3.524 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.5·1.5 = 52.79 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.5 + 0.125/(3.5·1.5) = 3.524 m

答え

y_cp = 3.524 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 21.6 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(300/0.25)·1.2²/(2·9.81) = 2.202 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·2.202 = 21600 Pa = 21.6 kPa

答え

Δp = 21.6 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 59.63 L/s

損失係数

f·L/D = 0.015·150/0.15 = 15

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

13 = (15 + 7.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·13/22.4) = 3.374 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.374·0.01767 = 0.05963 m³/s = 59.63 L/s

答え

Q = 59.63 L/s

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 7.448 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 1.5·1.4)·1.4 = 6.44 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·1.4·√(1 + 1.5²) = 7.548 m

R = A/P = 0.8532 m

速度

V = (1/0.022)·0.8532^2/3·0.0008^1/2 = 1.157 m/s

流量

Q = A·V = 6.44·1.157 = 7.448 m³/s

答え

Q = 7.448 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0005195 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 1.5·1.7)·1.7 = 8.585 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·1.7·√(1 + 1.5²) = 8.629 m

R = A/P = 0.9949 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·13/(8.585·0.9966) = 0.02279

S = 0.02279² = 0.0005195

答え

S = 0.0005195

これは 1 km あたり 0.5195 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 57.93 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·62 = 36.49 kW

軸動力

P_shaft = 36.49/0.7 = 52.13 kW

電力

P_el = 52.13/0.9 = 57.93 kW

答え

P_el = 57.93 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 33.1 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.5 + 8)·0.3305 = 8.097 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 25 + 8.097 = 33.1 m

答え

H = 33.1 m

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 35480 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·6 = 72

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.127 = €35 480.36

答え

PV = €35 480.36

26.貨幣の時間価値

答え: I = 60640 €

毎月の返済額

i = 0.003, N = 240

A = 150 000·0.003/(1 − (1 + 0.003)⁻²⁴⁰) = €877.67

利息の総額

I = N·A − P = 240·877.7 − 150 000 = €60 640.13

答え

I = €60 640.13

27.NPV と IRR

答え: NPV = 6683 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 7 000/1.07 = 6 542.06

CF₂/(1 + 0.07)² = 12 000/1.145 = 10 481.26

CF₃/(1 + 0.07)³ = 11 000/1.225 = 8 979.28

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 14 000/1.311 = 10 680.53

合計する

NPV = €6 683.13

答え

NPV = €6 683.13

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: MIRR = 13.42 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

15 000·1.06³ = 17 865.24

16 000·1.06² = 17 977.60

23 500·1.06¹ = 24 910.00

22 000·1.06⁰ = 22 000.00

TV = 82 752.84

MIRR

MIRR = (82 752.84/50 000)^1/4 − 1 = 13.42%

答え

MIRR = 13.42%

29.正規分布

答え: P = 0.5573

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (248.5 − 250)/5 = −0.3

z₂ = (257.75 − 250)/5 = 1.55

間の面積

P = Φ(1.55) − Φ(−0.3) = 0.9394 − 0.3821 = 0.5573

答え

P = 0.5573

30.正規分布

答え: x = 261.6 g

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

x に戻す

x = 250 + 2.326·5 = 261.63 g

答え

x = 261.63 g

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