FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

はりは A でピン支点、A から 6 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 R_A を求めよ。

AB = 6 mAC = 10 mP₁ = 30 kN 位置 4 mP₂ = 60 kN 位置 10 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 0 で自由端 B で 4 kN/m まで直線的に増加する分布荷重と、壁から 2.5 m の位置の集中荷重 P が作用する。壁における反力モーメント M_A の大きさを求めよ。

L = 4 mw₀ = 4 kN/mP = 75 kN 位置 2.5 m

M_A = kN·m

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 7 m鉛直荷重 = 60 kN

F_BC = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 40 kN水平荷重 = 20 kN →

F_BC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 0.5 m の断面におけるせん断力 V_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mw = 5 kN/m（0 から 5 m まで）x = 0.5 m

V_x = kN

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 35 kN 位置 3.5 mw = 5 kN/m（0 から 6 m まで）x = 3.5 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.はりのたわみむずかしい

幅 75 mm の長方形断面をもつ木製の単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央のたわみはスパン/360 を超えてはならない。断面の最小の高さ h_req を求めよ。

w = 1.5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (構造用木材)b = 75 mm

h_req = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 140 mm、外高は H = 325 mm、壁厚は一様に t = 16 mm である。水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

B = 140 mmH = 325 mmt = 16 mm

r = mm

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

150 mm × 200 mm の板に、幅 40 mm、高さ 30 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 60 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 150 mmh = 200 mm切り欠き: 40 × 30 mm穴の中心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 7 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³粘土: γ_sat = 17.5 kN/m³

u = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 4 m の過圧密粘土層の C_c = 0.2、C_r = 0.04、e₀ = 0.75 である。中央深さでの有効鉛直応力は 75 kPa であり、過圧密比は OCR = 2.5 である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 170 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 4 mC_c = 0.2C_r = 0.04e₀ = 0.75σ′₀ = 75 kPaOCR = 2.5Δσ = 170 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 19 mm の粘土供試体が 6 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 3 m の層をなしている。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 19 mmt_lab = 6 minH = 3 m現場：両面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 800 m、内径 75 mm の管内を 12 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 12 L/sL = 800 mD = 75 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 100 m、内径 100 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 12 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 12 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の仕上げたコンクリートの水路の幅は 1.5 m である。水は水深 0.6 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.012、水路床勾配は S = 0.003 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 1.5 my = 0.6 mn = 0.012S = 0.003

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 450 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 0.75 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 450 mmn = 0.013V = 0.75 m/s

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 85% のポンプが揚程 58 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 40 L/sH = 58 mη = 85%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 25 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 25 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 8

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 19.5%、半年複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 19.5%m = 2

EAR = %

26.貨幣の時間価値むずかしい

€200 000 の住宅ローンを、年 3%、月複利で 30 年間の元利均等の月払いで返済します。4 年目の末の支払い直後に、まだいくら残っていますか？残高 B を求めなさい。

P = €200 0003% / 12N = 360k = 48

B = €

27.NPV と IRRふつう

€60 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€15 000, €18 000, €22 000。資本コストは 6% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 000CF₂ = 18 000CF₃ = 22 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €50 000 かかり、1 年目から 2 年目の各年末に €27 000, €29 500 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −50 000CF₁ = 27 000CF₂ = 29 500

IRR = %

29.正規分布ふつう

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。55 から 80.5 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 65σ = 10x₁ = 55x₂ = 80.5

P =

30.正規分布むずかしい

配達時間は、平均 32 min、標準偏差 6 min の正規分布に従います。全体の 99% がそれより下にある値 x（第 99 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = −30 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·4 + 60·10

R_B = 720/6 = 120 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 30 + 60 − 120 = −30 kN

答え

R_A = −30 kN

R_A は負です：A のピンははりを下に押さえつけなければなりません。

2.はりの支点反力

答え: M_A = 208.8 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 R_A と反力モーメント M_A を与えます。ΣF_y = 0 から R_A が、壁まわりのモーメントから M_A = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·4·4 = 8 kN

x̄ = 2L/3 = 2.667 m

壁まわりのモーメント

M_A = W·x̄ + P·a = 8·2.667 + 75·2.5 = 208.8 kN·m

答え

M_A = 208.8 kN·m

3.トラス：節点法

答え: F_BC = −55.34 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·7 → C_y = 52.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 52.5 = 7.5 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −52.5/0.9487 = −55.34 kN

答え

F_BC = −55.34 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: F_BC = −35.9 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·1 + 20·2 → C_y = 13.33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 13.33 = 26.67 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/5.385 = 0.3714, cos γ = 5/5.385 = 0.9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13.33/0.3714 = −35.9 kN

答え

F_BC = −35.9 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: V_x = 10 kN

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2.5

R_B = 62.5/5 = 12.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12.5 = 12.5 kN

x = 0.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

V = R_A − （切断面より左の下向き荷重すべて）

V_x = 12.5 − 5·0.5 = 10 kN

答え

V_x = 10 kN

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 72.92 kN·m

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3.5 + 5·6·3

R_B = 212.5/6 = 35.42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 35.42 = 29.58 kN

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 29.58·3.5 − 5·3.5·1.75 = 72.92 kN·m

答え

M_x = 72.92 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_max = 1.302 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 1.302 mm

答え

δ_max = 1.302 mm

8.はりのたわみ

答え: h_req = 187.1 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 1.5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

必要な断面二次モーメント

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1.5·4000⁴/(384·11000·11.11) = 4.091 × 10⁷ mm⁴

必要な高さ

bh³/12 = I_req → h = (12·4.091 × 10⁷/75)^1/3 = 187.1 mm

答え

h_req = 187.1 mm

実務では、この値より大きい次の標準寸法を選びます。

9.柱の座屈

答え: P_cr = 197.7 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1750² = 197744 N = 197.7 kN

答え

P_cr = 197.7 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 197.4 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/15 = 100

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

答え

σ_cr = 197.4 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: r = 112.1 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = I_c + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

b = 108 mm, h = 293 mm

A = BH − bh = 140·325 − 108·293 = 13856 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.741 × 10⁸ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(1.741 × 10⁸/13856) = 112.1 mm

答え

r = 112.1 mm

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 97.91 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (30000·100 − 1200·60)/(30000 − 1200) = 101.7 mm

ȳ まわりの全体の板

150·200³/12 + 30000·−1.667² = 100.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

40·30³/12 + 1200·−41.67² = 2.173 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 97.91 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 97.91 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: u = 78.48 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·8 = 78.48 kPa

答え

u = 78.48 kPa

14.地盤の有効応力

答え: u = 49.05 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

答え

u = 49.05 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 89.49 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2.5·75 = 187.5 kPa

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 75 + 170 = 245 kPa > 187.5 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.04·4/(1 + 0.75)·log₁₀(187.5/75) + 0.2·4/(1 + 0.75)·log₁₀(245/187.5)

S = 36.38 + 53.1 = 89.49 mm

答え

S = 89.49 mm

16.圧密沈下

答え: t = 103.9 日

排水距離

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 3/2 = 1.5 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 6·(1.5/0.0095)² = 149584 min

t_field = 149584/1440 = 103.9 日

答え

t = 103.9 日

17.静水圧

答え: F = 138 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·3.75 = 138 kN

答え

F = 138 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 2.333 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.25·1.5 = 29.14 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 0.2813/(2.25·1.5) = 2.333 m

答え

y_cp = 2.333 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 72.2 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²

V = Q/A = 0.012/0.004418 = 2.716 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 2.716²/(2·9.81) = 0.376 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(800/0.075)·2.716²/(2·9.81) = 72.2 m

答え

h_f = 72.2 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 2.665 m

速度

V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

損失係数

f·L/D = 0.018·100/0.1 = 18

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 18 + 3.4)·0.119 = 2.665 m

答え

H = 2.665 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 1.975 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 1.5·0.6 = 0.9 m²

P = b + 2y = 1.5 + 2·0.6 = 2.7 m

R = A/P = 0.3333 m

速度

V = (1/0.012)·0.3333^2/3·0.003^1/2 = 2.194 m/s

流量

Q = A·V = 0.9·2.194 = 1.975 m³/s

答え

Q = 1.975 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.00175 m/m

径深

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.75/0.233)² = 0.00175

答え

S = 0.00175

これは 1 km あたり 1.75 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 26.78 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·58 = 22.76 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 22.76/0.85 = 26.78 kW

答え

P_shaft = 26.78 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 10.81 m

速度

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (29.33 + 8)·0.102 = 3.808 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 7 + 3.808 = 10.81 m

答え

H = 10.81 m

25.貨幣の時間価値

答え: EAR = 20.45 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.195/2 = 0.0975

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.0975)² − 1 = 1.205 − 1 = 20.45%

答え

EAR = 20.45%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

26.貨幣の時間価値

答え: B = 182520 €

毎月の返済額

i = 0.0025, N = 360

A = 200 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻³⁶⁰) = €843.21

残りの支払いの現在価値

まだ残っている借入は、残りの支払いでちょうど完済されなければなりません。

N − k = 360 − 48 = 312

B = 843.2·(1 − (1 + 0.0025)⁻³¹²)/0.0025 = €182 520.00

答え

B = €182 520.00

27.NPV と IRR

答え: NPV = −11357 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 15 000/1.06 = 14 150.94

CF₂/(1 + 0.06)² = 18 000/1.124 = 16 019.94

CF₃/(1 + 0.06)³ = 22 000/1.191 = 18 471.62

合計する

NPV = €−11 357.50

答え

NPV = €−11 357.50

NPV は負なので、このプロジェクトは要求収益率より少なくしか稼ぎません。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 8.419 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(5%) = 2 471.66

NPV(10%) = −1 074.38

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 5 + 5·2 471.66/(2 471.66 − (−1 074.38)) = 8.485%

正確な値: NPV(8.419%) = 0 → IRR = 8.419%

答え

IRR = 8.419%

29.正規分布

答え: P = 0.7808

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (55 − 65)/10 = −1

z₂ = (80.5 − 65)/10 = 1.55

間の面積

P = Φ(1.55) − Φ(−1) = 0.9394 − 0.1587 = 0.7808

答え

P = 0.7808

30.正規分布

答え: x = 45.96 min

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

x に戻す

x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min

答え

x = 45.96 min

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