FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 8 kN/m から B で 0 まで直線的に減少する分布荷重が作用する。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 8 mw₀ = 8 kN/m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 10 mP = 10 kN 位置 4 mw = 4 kN/m（5 から 9 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

D: 35 kN ↓F: 25 kN ↓G: 35 kN ↓H: 25 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 15 kN ↓F: 10 kN →H: 30 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

5.せん断力と曲げモーメントふつう

単純ばりに、A から x = 1.5 m の位置で時計回りの偶力 M₀ = 60 kN·m が作用し、他の荷重はない。偶力のすぐ左側での曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mM₀ = 60 kN·m 時計回り、位置 1.5 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。支点間の最大の正の曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 10 mw = 10 kN/m（0 から 10 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m

M_max = kN·m

7.はりのたわみふつう

片持ちばりの全長に等分布荷重 w が、自由端に集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて自由端のたわみ δ を求めよ。

P = 5 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 10 kNw = 12 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 6 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 2.5 で 100 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 100 kNn = 2.5L = 1 mE = 200 GPa (鋼)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 120 mm の底板と、全高 60 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 12 mm である。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b = 120 mmh = 60 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 40 kN·m を受ける。上端の曲げ応力 σ_上端の大きさを求めよ。

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mmM = 40 kN·m

σ_上端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 8.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³粘土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 6.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.35、C_r = 0.03、e₀ = 0.9 である。中央深さでの有効鉛直応力は 85 kPa であり、過圧密比は OCR = 1.5 である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 130 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 6.5 mC_c = 0.35C_r = 0.03e₀ = 0.9σ′₀ = 85 kPaOCR = 1.5Δσ = 130 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 3 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 70% に対する時間係数は T_v = 0.403 である。この層が圧密度 70% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 5 mc_v = 3 m²/年度U = 70%T_v = 0.403両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 500 m、内径 200 mm の水平管内を 1.4 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.4 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 120 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 120 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の芝で覆われた土の水路の幅は 4 m である。水は水深 1.3 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.0008 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 4 my = 1.3 mn = 0.03S = 0.0008

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 5.5 m の長方形の砂利の水路は、水深 1.3 m の等流で 5.9 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.025。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 5.9 m³/sb = 5.5 my = 1.3 mn = 0.025

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 30 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 10 L/s 送っている。ポンプ効率は 82%、これを駆動する電動機の効率は 94% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 10 L/sH = 30 mη_pump = 82%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 120 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 19 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 70% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 120 L/sΔz = 19 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

7 年後に €15 000 が必要です。口座の利率は年 6%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €15 0006% / 4n = 7

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

4 年後に €25 000 が欲しいとします。年 4.2%、月複利の口座に、毎月末に同じ額を積み立てます。毎月の積立額 A を求めなさい。

FV = €25 0004.2% / 12N = 48

A = €

27.NPV と IRRふつう

€45 000 の投資が、1 年目から 4 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€11 000, €17 000, €18 000, €22 000。資本コストは 10% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 11 000CF₂ = 17 000CF₃ = 18 000CF₄ = 22 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €13 000, €14 000, €9 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 13 000CF₂ = 14 000CF₃ = 9 000

IRR = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、z の右側の色つき面積が 0.1762 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.1762

z =

30.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの上位 80% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 21.33 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·8·8 = 32 kN

x̄ = L/3 = 2.667 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 32·2.667

R_B = 10.67 kN

R_A = 32 − 10.67 = 21.33 kN

答え

R_A = 21.33 kN

2.はりの支点反力

答え: R_B = 15.2 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN、作用点 x̄ = 7 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·4 + 4·4·7

R_B = 152/10 = 15.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 26 − 15.2 = 10.8 kN

答え

R_B = 15.2 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 BF

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 B

AB と BC は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、BF だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 68.33 kN (T), BC: 68.33 kN (T), CD: 91.67 kN (T), DE: 91.67 kN (T), FG: 103.3 kN (C), GH: 103.3 kN (C), AF: 85.42 kN (C), HE: 114.6 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 43.75 kN (T), HC: 14.58 kN (T)

答え

ゼロ部材: BF

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 26.25 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 28.75 kN (T), FG: 26.25 kN (C), GH: 28.75 kN (C), AF: 22.98 kN (C), HE: 40.66 kN (C), BF: 16.25 kN (T), CG: 0, DH: 1.25 kN (C), BG: 1.768 kN (C), DG: 1.768 kN (T)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = −22.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。作用する偶力により、曲げモーメント図はその偶力の大きさだけ急変します。

支点反力

A まわりのモーメント（反時計回りを正）：R_B·L − M₀ = 0。鉛直方向のつり合い：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 60/4 = 15 kN (上向き)

R_A = −R_B = −15 kN (下向き)

偶力のすぐ左で切断

左側部分には R_A だけが含まれます。

M_x = R_A·a = −15·1.5 = −22.5 kN·m

答え

M_x = −22.5 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 70.31 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·10·5

R_B = 500/8 = 62.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 62.5 = 37.5 kN

せん断力 0 の位置

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 37.5/10 = 3.75 m

最大の正の曲げモーメント

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 37.5²/(2·10) = 70.31 kN·m

答え

M_max = 70.31 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ = 8.889 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 5000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(3EI) = 5000·2000³/(3·2.4 × 10¹²) = 5.556 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·2.4 × 10¹²) = 3.333 mm

足し合わせる

δ = 5.556 + 3.333 = 8.889 mm

答え

δ = 8.889 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 2.511 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 10000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm, EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·1500³/(48·5.95 × 10¹¹) = 1.182 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·1500⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 1.329 mm

足し合わせる

δ_max = 1.182 + 1.329 = 2.511 mm

答え

δ_max = 2.511 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 27.56 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·6000 = 12000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/12000² = 27561 N = 27.56 kN

答え

P_cr = 27.56 kN

10.柱の座屈

答え: d = 56.68 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 56.68 mm

答え

d = 56.68 mm

確認：細長比 KL/r は 141.1 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 0.8145 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

長方形に分割

底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。

基剤: A₁ = 120·12 = 1440 mm², y₁ = 6 mm

2 本の脚: A₂ = 2·12·48 = 1152 mm², y₂ = 12 + 48/2 = 36 mm

図心

ȳ = (1440·6 + 1152·36)/2592 = 19.33 mm

平行軸の定理

基剤: 120·12³/12 + 1440·(6 − 19.33)² = 273280 mm⁴

2 本の脚: 2·12·48³/12 + 1152·(36 − 19.33)² = 541184 mm⁴

I_x = 273280 + 541184

I_x = 814464 mm⁴ = 0.8145 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 0.8145 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_上端 = 181.4 MPa

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

ウェブ: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·130 + 1680·60)/4880 = 105.9 mm

平行軸の定理

フランジ: 160·20³/12 + 3200·(130 − 105.9)² = 1.965 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 14·120³/12 + 1680·(60 − 105.9)² = 5.556 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.965 × 10⁶ + 5.556 × 10⁶ = 7.521 × 10⁶ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 140 − 105.9 = 34.1 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·34.1/7.521 × 10⁶ = 181.4 MPa

答え

σ_上端 = 181.4 MPa

13.地盤の有効応力

答え: σ = 123 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·3 + 19.5·4 = 123 kPa

答え

σ = 123 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 92.48 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3.5

σ = 15·2 + 20.5·3 + 18.5·3.5 = 156.3 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6.5 = 63.77 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 156.3 − 63.77 = 92.48 kPa

答え

σ′ = 92.48 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 289.8 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1.5·85 = 127.5 kPa

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 85 + 130 = 215 kPa > 127.5 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.03·6.5/(1 + 0.9)·log₁₀(127.5/85) + 0.35·6.5/(1 + 0.9)·log₁₀(215/127.5)

S = 18.07 + 271.7 = 289.8 mm

答え

S = 289.8 mm

16.圧密沈下

答え: t = 0.8396 年

排水距離

H_dr = H/2 = 5/2 = 2.5 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·2.5²/3 = 0.8396 年

答え

t = 0.8396 年

17.静水圧

答え: F = 14.71 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·1.5 = 14.71 kN

答え

F = 14.71 kN

18.静水圧

答え: F = 17.27 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1·2 = 17.27 kN

答え

F = 17.27 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 61.25 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(500/0.2)·1.4²/(2·9.81) = 6.244 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·6.244 = 61250 Pa = 61.25 kPa

答え

Δp = 61.25 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 9.138 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

損失係数

f·L/D = 0.022·200/0.25 = 17.6

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

全損失水頭

h_f = 17.6·0.3046 = 5.361 m

h_m = 12.4·0.3046 = 3.777 m

Δz = h_f + h_m = 9.138 m

答え

Δz = 9.138 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 4.182 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 4·1.3 = 5.2 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1.3 = 6.6 m

R = A/P = 0.7879 m

速度

V = (1/0.03)·0.7879^2/3·0.0008^1/2 = 0.8043 m/s

流量

Q = A·V = 5.2·0.8043 = 4.182 m³/s

答え

Q = 4.182 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0005026 m/m

断面の形状

A = b·y = 5.5·1.3 = 7.15 m²

P = b + 2y = 5.5 + 2·1.3 = 8.1 m

R = A/P = 0.8827 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·5.9/(7.15·0.9202) = 0.02242

S = 0.02242² = 0.0005026

答え

S = 0.0005026

これは 1 km あたり 0.5026 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 3.818 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·30 = 2.943 kW

軸動力

P_shaft = 2.943/0.82 = 3.589 kW

電力

P_el = 3.589/0.94 = 3.818 kW

答え

P_el = 3.818 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 41.17 kW

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 8)·0.3046 = 5.483 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 19 + 5.483 = 24.48 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·24.48/0.7 = 41.17 kW

答え

P_shaft = 41.17 kW

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 9886 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.06/4 = 0.015

N = 4·7 = 28

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.517 = €9 886.49

答え

PV = €9 886.49

26.貨幣の時間価値

答え: A = 479.2 €

月利と積立回数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·4 = 48

積立額

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0.0035/(1.183 − 1) = €479.22

答え

A = €479.22

27.NPV と IRR

答え: NPV = 7600 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 11 000/1.1 = 10 000.00

CF₂/(1 + 0.1)² = 17 000/1.21 = 14 049.59

CF₃/(1 + 0.1)³ = 18 000/1.331 = 13 523.67

CF₄/(1 + 0.1)⁴ = 22 000/1.464 = 15 026.30

合計する

NPV = €7 599.55

答え

NPV = €7 599.55

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 22.05 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(20%) = 763.89

NPV(25%) = −1 032.00

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 20 + 5·763.89/(763.89 − (−1 032.00)) = 22.13%

正確な値: NPV(22.05%) = 0 → IRR = 22.05%

答え

IRR = 22.05%

29.正規分布

答え: z = 0.93

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = 1 − 0.1762 = 0.8238

z 表を逆に読む

表の中で 0.8238 を見つけ、z を読み取ります。

z = 0.93

答え

z = 0.93

30.正規分布

答え: x = 466 h

左側の面積

Φ(z) = 0.2

表からの z

z ≈ −0.84

元の単位に戻す

x = 500 − 0.84·40 = 466 h

答え

x = 466 h

これは独自の練習教材です。ExamProblems はこの試験を実施する団体とは提携しておらず、その承認も受けていません。試験名は内容を説明するためにのみ使用しています。 FE examはNCEESが実施する試験です。同団体はExamProblemsと提携しておらず、推奨もしていません。

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil