FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

地盤の有効応力

全応力
σ = Σγi·hi
間隙水圧
u = γw·(z − zw)
有効応力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最終応力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
過圧密、σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
過圧密比
OCR = σ′p/σ′0
圧密時間
t = Tv·Hdr²/cv
排水距離
Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値
FV = PV·(1 + i)n
現在価値
PV = FV/(1 + i)n
年に複数の期間
i = r/m, N = m·n
年金現価
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金終価
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

解き方

  1. すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
  2. 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
  3. 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
  4. 答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
均等なキャッシュフロー
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部収益率
NPV = 0 となる r
判断
NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

  1. すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
  2. 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
  3. それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
  4. IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 60 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?1 m2 m2 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 5 mP1 = 60 kN 位置 1 mP2 = 60 kN 位置 3 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 3 kN/mP = 20 kNABCRB​ = ?1 m5 m2 m

はりは A でピン支点、A から 6 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 1 m の位置に集中荷重 P が作用し、6 m から 8 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 RB を求めよ。

AB = 6 mAC = 8 mP = 20 kN 位置 1 mw = 3 kN/m（6 から 8 m まで）
RB = kN
3.トラス：節点法ふつう
ABCDEFGH15 kN20 kN4 × 3 m4 m

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。

B: 15 kN ↓G: 20 kN ↓
  1. 1部材 AB
  2. 2部材 BC
  3. 3部材 CD
  4. 4部材 DE
  5. 5部材 FG
  6. 6部材 GH
  7. 7部材 AF
  8. 8部材 HE
  9. 9部材 BF
  10. 10部材 CG
  11. 11部材 DH
  12. 12部材 BG
  13. 13部材 DG
4.トラス：節点法むずかしい
ABCDEFGH20 kN15 kN35 kN15 kN4 × 4 m4 m

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？ 図でそれをクリックしなさい。

B: 20 kN ↓C: 15 kN ↓G: 35 kN ↓H: 15 kN ←
  1. 1部材 AB
  2. 2部材 BC
  3. 3部材 CD
  4. 4部材 DE
  5. 5部材 FG
  6. 6部材 GH
  7. 7部材 AF
  8. 8部材 HE
  9. 9部材 BF
  10. 10部材 CG
  11. 11部材 DH
  12. 12部材 FC
  13. 13部材 HC
5.せん断力と曲げモーメントふつう
20 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？ 図でそれをクリックしなさい。

20 kN @ 8 m40 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 16 kN/mAB1 m3 m2 m

単純ばりのスパンの一部に等分布荷重が作用する。 はりの最大曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 6 mw = 16 kN/m（1 から 4 m まで）
Mmax = kN·m
7.はりのたわみふつう
w = 15 kN/mδL = 2 m

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δmax を求めよ。

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.はりのたわみむずかしい
w = 5 kN/mP = 12 kNδL = 2.5 m

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δmax を求めよ。

P = 12 kNw = 5 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 25 mm断面

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 95 kNL = 2.5 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端自由である。座屈に対する安全率 3 で 95 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 95 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.図心と断面二次モーメントふつう
220140t = 18ȳ = ?寸法の単位：mm

溝形断面は開いた側を上にして置かれている：幅 220 mm の底板と、全高 140 mm の 2 本の立ち上がった脚からなる。底板と脚の厚さはすべて 18 mm である。 下端から図心までの高さ ȳ を求めよ。

b = 220 mmh = 140 mmt = 18 mm
ȳ = mm
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
1202002212xM = 30 kN·m寸法の単位：mm

対称な I 形断面のフランジは幅 120 mm、厚さ 22 mm、全高は 200 mm、ウェブの厚さは 12 mm である。 軸 x まわりに曲げモーメント 30 kN·m を受ける。 ウェブと上フランジの接合部における曲げ応力の大きさ σj を求めよ。

B = 120 mmH = 200 mmtf = 22 mmtw = 12 mmM = 30 kN·m
σj = MPa
13.地盤の有効応力ふつう
砂γd​ = 16 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³7 m地下水位Xz = 6 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 6 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³
σ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
砂γd​ = 15 kN/m³γsat​ = 20.5 kN/m³6 m粘土γsat​ = 18.5 kN/m³5 m地下水位Xz = 8.5 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 8.5 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³粘土: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
15.圧密沈下ふつう
Δσ = 50 kPa砂粘土Cc​ = 0.45, Cr​ = 0.04e0​ = 1.2σ′0​ = 110 kPaOCR = 33.5 m地下水位

厚さ 3.5 m の過圧密粘土層の Cc = 0.45、Cr = 0.04、e₀ = 1.2 である。中央深さでの有効鉛直応力は 110 kPa であり、 過圧密比は OCR = 3 である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 50 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 3.5 mCc = 0.45Cr = 0.04e0 = 1.2σ′0 = 110 kPaOCR = 3Δσ = 50 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
砂粘土H = 5.5 m5.5 m不透水性の岩盤地下水位

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 19 mm の粘土供試体が 15 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 5.5 m の層をなしている。 不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。 現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

hlab = 19 mmtlab = 15 minH = 5.5 m現場：片面排水
t = 日
17.静水圧ふつう
ゲートd = 1.5 mH = 2.5 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
ゲートd = 2.5 mH = 1 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 1.1 m/sD = 50 mmL = 150 mf = 0.03

水が、長さ 150 m、内径 50 mm の管内を平均流速 1.1 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

V = 1.1 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 10Δz = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0.0252× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 75 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 75 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
D = 1200 mmn = 0.013, S = 0.005

内径 1200 mm のコンクリート製雨水管が半満流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 1200 mmn = 0.013S = 0.005
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
b = 2 my = 1 m1 : 1n = 0.03, Q = 2.1 m³/s

底幅 2 m、側面勾配 1:1（水平:鉛直）の台形の芝で覆われた土の水路は、 水深 1 m の等流で 2.1 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 2.1 m³/sb = 2 my = 1 mz = 1n = 0.03
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 50 L/sH = 62 m

効率 72% のポンプが揚程 62 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 50 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 50 L/sH = 62 mη = 72%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 100 L/sΔz = 13 mL = 200 m, D = 250 mm, f = 0.022, ΣK = 5

ポンプが 100 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 13 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 78% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 100 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 5η = 78%
Pshaft = kW
25.貨幣の時間価値ふつう
期間0123…36511 + EAR = ?16% / 365

クレジットカードの名目年利は 16%、毎日複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 16%m = 365
EAR = %
26.貨幣の時間価値むずかしい
か月0123…180€200 000AAAA4.2% / 12, I = ?

€200 000 のローンを、年 4.2%、月複利で 15 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €200 0004.2% / 12N = 180
I = €
27.NPV と IRRふつう
年0123…10€60 000€5 000€5 000€5 000€5 000r = 10%, EAC = ?

ある機械の費用は今日 €60 000、耐用年数は 10 年、運転費は毎年 €5 000（各年末に支払い）です。資本コストは 10% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C0 = €60 000M = €5 000n = 10r = 10%
EAC = €
28.NPV と IRRむずかしい
r (%)NPVABr* = ?0

プロジェクト A の費用は €40 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €22 500, €16 500, €7 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €50 000 で、€13 000, €20 500, €25 500 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −40 000, 22 500, 16 500, 7 000B: −50 000, 13 000, 20 500, 25 500
r* = %
29.正規分布ふつう
105 s99.9 sX + Y?

X は平均 60 s、標準偏差 5 s の正規分布に従い、Y は X と独立で、平均 45 s、標準偏差 4 s の正規分布に従います。X + Y が 99.9 s を超える確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 99.9 s
P =
30.正規分布むずかしい
380420460500540580620h上端 85%

電池の寿命 は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの上位 85% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 500 hσ = 40 h85%
x = h

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 48 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 60 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​1 m2 m2 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·5 = 60·1 + 60·3
RB = 240/5 = 48 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 48 = 72 kN

答え

RB = 48 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 10.33 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

分布荷重の合力

W = 3·2 = 6 kN, x̄ = (6 + 8)/2 = 7 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·6 = 20·1 + 6·7
RB = 62/6 = 10.33 kN
RA = 26 − 10.33 = 15.67 kN

答え

RB = 10.33 kN
3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 15.94 kN (T), BC: 20.62 kN (T), CD: 20.62 kN (T), DE: 10.31 kN (T), FG: 15.94 kN (C), GH: 10.31 kN (C), AF: 26.56 kN (C), HE: 17.19 kN (C), BF: 21.25 kN (T), CG: 0, DH: 13.75 kN (T), BG: 7.813 kN (C), DG: 17.19 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG
4.トラス：節点法

答え: 部材 DH

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 D

CD と DE は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、DH だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 28.75 kN (T), BC: 28.75 kN (T), CD: 26.25 kN (T), DE: 26.25 kN (T), FG: 67.5 kN (C), GH: 67.5 kN (C), AF: 61.87 kN (C), HE: 37.12 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 33.59 kN (T), HC: 37.12 kN (T)

答え

ゼロ部材: DH
5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R1 = 26.67 kN, R2 = 33.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

MA = 0, MB = 53.33, MC = 106.7, MD = 160 kN·m, ME = 133.3, MF = 66.67, MG = 0

答え

点 D: MD = 160 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 52.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 16·3 = 48 kN、作用点 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 16·3·2.5
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 20 = 28 kN

せん断力 0 の位置

せん断力は RA から始まり、荷重のない区間では一定のまま、荷重区間内では勾配 w で減少します。

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 28/16 = 2.75 m

最大モーメント

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 28·2.75 − 16·1.75²/2 = 52.5 kN·m

答え

Mmax = 52.5 kN·m
7.はりのたわみ

答え: δmax = 5.252 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 5.252 mm

答え

δmax = 5.252 mm
8.はりのたわみ

答え: δmax = 2.687 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 12000 N, w = 5 N/mm, L = 2500 mm, EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

各荷重を単独で

δP = PL³/(48EI) = 12000·2500³/(48·2.4 × 10¹²) = 1.628 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 1.06 mm

足し合わせる

δmax = 1.628 + 1.06 = 2.687 mm

答え

δmax = 2.687 mm
9.柱の座屈

答え: Pcr = 4.205 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·3000 = 3000 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4.205 kN

答え

Pcr = 4.205 kN
10.柱の座屈

答え: d = 92.6 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 92.6 mm

答え

d = 92.6 mm

確認：細長比 KL/r は 216 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: ȳ = 45.81 mm

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

長方形に分割

底板を全幅でとり、その上に 2 本の脚（高さ h − t）をとれば、二重に数える部分がなくなります。

基剤: A1 = 220·18 = 3960 mm², y1 = 9 mm
2 本の脚: A2 = 2·18·122 = 4392 mm², y2 = 18 + 122/2 = 79 mm

図心

ȳ = (3960·9 + 4392·79)/8352 = 45.81 mm

答え

ȳ = 45.81 mm
12.図心と断面二次モーメント

答え: σj = 51.06 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

外側の長方形 − 両側の切欠き 2 つ

2 つの切欠きを合わせると幅 (B − tw)、高さ hw = H − 2tf で、軸 x を共有します。

hw = 200 − 2·22 = 156 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (120·200³ − 108·156³)/12
Ix = 4.583 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

y = 100 − 22 = 78 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·78/4.583 × 10⁷ = 51.06 MPa

答え

σj = 51.06 MPa
13.地盤の有効応力

答え: σ = 108 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·3 + 20·3 = 108 kPa

答え

σ = 108 kPa
14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 94.48 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·2 + γsat,sand·4 + γsat,clay·2.5
σ = 15·2 + 20.5·4 + 18.5·2.5 = 158.3 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·6.5 = 63.77 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 158.3 − 63.77 = 94.48 kPa

答え

σ′ = 94.48 kPa
15.圧密沈下

答え: S = 10.36 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力

σ′p = OCR·σ′0 = 3·110 = 330 kPa

圧密降伏応力と比べる

σ′f = 110 + 50 = 160 kPa ≤ 330 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.04·3.5/(1 + 1.2)·log₁₀(160/110) = 10.36 mm

答え

S = 10.36 mm
16.圧密沈下

答え: t = 3491 日

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

排水距離

Hdr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m
Hdr,field = 5.5 m

時間を換算する

t = Tv·Hdr²/cv。T_v と cv は室内と現場で同じです。

tfield = 15·(5.5/0.0095)² = 5.028 × 10⁶ min
tfield = 5.028 × 10⁶/1440 = 3491 日

答え

t = 3491 日
17.静水圧

答え: F = 101.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
ゲートd = 1.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·3.75 = 101.2 kN

答え

F = 101.2 kN
18.静水圧

答え: F = 44.15 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
ゲートd = 2.5 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·1.5 = 44.15 kN

答え

F = 44.15 kN
19.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 5.55 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 1.1²/(2·9.81) = 0.06167 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(150/0.05)·1.1²/(2·9.81) = 5.55 m

答え

hf = 5.55 m
20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 3.224 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m

損失係数

f·L/D = 0.025·150/0.25 = 15
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

全損失水頭

hf = 15·0.119 = 1.785 m
hm = 12.1·0.119 = 1.44 m
Δz = hf + hm = 3.224 m

答え

Δz = 3.224 m
21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 1.378 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.5655 m², R = D/4 = 0.3 m

速度

V = (1/0.013)·0.32/3·0.0051/2 = 2.438 m/s

流量

Q = A·V = 0.5655·2.438 = 1.378 m³/s

答え

Q = 1.378 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0008318 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·1)·1 = 3 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1·√(1 + 1²) = 4.828 m
R = A/P = 0.6213 m

マニングの式を S について解く

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.03·2.1/(3·0.7281) = 0.02884
S = 0.02884² = 0.0008318

答え

S = 0.0008318

これは 1 km あたり 0.8318 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 42.24 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·62 = 30.41 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 30.41/0.72 = 42.24 kW

答え

Pshaft = 42.24 kW
24.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 22.36 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (17.6 + 5)·0.2115 = 4.78 m

ポンプ揚程

H = Δz + hL = 13 + 4.78 = 17.78 m

軸動力

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.1·17.78/0.78 = 22.36 kW

答え

Pshaft = 22.36 kW
25.貨幣の時間価値

答え: EAR = 17.35 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.16/365 = 0.0004384

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.0004384)365 − 1 = 1.173 − 1 = 17.35%

答え

EAR = 17.35%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

26.貨幣の時間価値

答え: I = 69910 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

毎月の返済額

i = 0.0035, N = 180
A = 200 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)−180) = €1 499.50

利息の総額

I = N·A − P = 180·1500 − 200 000 = €69 910.12

答え

I = €69 910.12
27.NPV と IRR

答え: EAC = 14765 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.1−10)/0.1 = 6.145

年換算した購入価格

60 000/6.145 = 9 764.72

EAC

EAC = 9 764.72 + 5 000 = €14 764.72

答え

EAC = €14 764.72
28.NPV と IRR

答え: r* = 6.311 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 13 000 − 22 500 = −9 500
ΔCF2 = 20 500 − 16 500 = 4 000
ΔCF3 = 25 500 − 7 000 = 18 500

差の IRR

NPVΔ(6%) = 130.68
NPVΔ(7%) = −283.24
r* = 6.311%

答え

r* = 6.311%

確認：6.311% では両方の NPV が €1 589.10 です。

29.正規分布

答え: P = 0.7881

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μX ± μY。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σX² + σY²、したがって σ = √(σX² + σY²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

和の分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

標準化する

z = (99.9 − 105)/6.403 = −0.8

上側確率

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

答え

P = 0.7881
30.正規分布

答え: x = 458 h

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.15

表からの z

z ≈ −1.04

元の単位に戻す

x = 500 − 1.04·40 = 458 h

答え

x = 458 h

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