FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 4 mP₁ = 15 kN 位置 1.5 mP₂ = 60 kN 位置 3 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 5 mP = 15 kN 位置 2.5 mw = 10 kN/m（2 から 5 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AC の軸力 F_AC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 10 kN

F_AC = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 4 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 45 kN水平荷重 = 5 kN ←

F_AB = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

45 kN @ 2 m55 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 1.5 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。支点間の最大の正の曲げモーメント M_max を求めよ。

L = 5.5 mw = 6 kN/m（0 から 5.5 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 4 m

M_max = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。支点 A におけるはりのたわみ角 θ_A をラジアンで求めよ。

w = 15 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.はりのたわみむずかしい

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。全長に等分布荷重 w が作用する。EI は一定である。支点 B の反力 R_B を求めよ。

L = 4 mw = 15 kN/m

R_B = kN

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 60 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

100 mm × 300 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 50 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 180 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mm穴の中心: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 25 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_下端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 2.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.45、C_r = 0.05、e₀ = 0.75 である。中央深さでの有効鉛直応力は 115 kPa であり、圧密降伏応力は 215 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 120 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 2.5 mC_c = 0.45C_r = 0.05e₀ = 0.75σ′₀ = 115 kPaσ′_p = 215 kPaΔσ = 120 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

室内の圧密試験（オエドメーター試験）で、上下両面排水の厚さ 19 mm の粘土供試体が 15 分で圧密度 50% に達する。現場では同じ粘土が厚さ 5.5 m の層をなしている。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。現場の層が圧密度 50% に達するまでに何日 t かかるか。

h_lab = 19 mmt_lab = 15 minH = 5.5 m現場：片面排水

t = 日

17.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 1000 m、内径 100 mm の水平管内を 1.8 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.8 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 150 m、内径 300 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 100 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 100 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

内径 600 mm のコンクリート製雨水管が、ちょうど満流で（圧力管ではなく開水路として）流れている。マニングの粗度係数 n = 0.013、勾配は S = 0.003 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

D = 600 mmn = 0.013S = 0.003

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 4.5 m の長方形の芝で覆われた土の水路は、水深 1.6 m の等流で 13 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.03。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 13 m³/sb = 4.5 my = 1.6 mn = 0.03

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

試験で、ポンプが揚程 50 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送り、そのとき軸動力は 102.2 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 150 L/sH = 50 mP_shaft = 102.2 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 19 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 400 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 40 L/sΔz = 19 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 6p_tank = 400 kPa

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

年金が毎年末に €1 500 を 6 年間支払います。利率は年 4% です。この年金の現在価値 PV を求めなさい。

A = €1 500i = 4%n = 6

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€20 000 のローンを、年 6%、月複利で 3 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €20 0006% / 12N = 36

I = €

27.NPV と IRRふつう

€75 000 の投資が、1 年目から 3 年目の各年末に次のキャッシュフローを生みます：€33 000, €35 000, €20 000。資本コストは 9% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

r = 9%CF₀ = −75 000CF₁ = 33 000CF₂ = 35 000CF₃ = 20 000

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €20 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €13 000, €14 000, €9 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 14 000CF₃ = 9 000

IRR = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.9146 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.9146

z =

30.正規分布むずかしい

ある集団の男性の身長 X と女性の身長 Y は独立な正規変数です：X は平均 180 cm、標準偏差 10 cm、Y は平均 170 cm、標準偏差 12 cm です。X が Y より大きい確率 P を求めなさい。z は小数第 2 位に丸めなさい。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 50.63 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·1.5 + 60·3

R_B = 202.5/4 = 50.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 50.63 = 24.38 kN

答え

R_B = 50.63 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 16.5 kN

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN、作用点 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2.5 + 10·3·3.5

R_B = 142.5/5 = 28.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 28.5 = 16.5 kN

答え

R_A = 16.5 kN

3.トラス：節点法

答え: F_AC = 9.375 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·5 → C_y = 6.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 6.25 = 3.75 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6.25/0.5547 = −11.27 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−11.27)·0.8321 = 9.375 kN

答え

F_AC = 9.375 kN (引張)

4.トラス：節点法

答え: F_AB = −42.09 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·1 − 5·4 → C_y = 4.167 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 4.167 = 40.83 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 4/4.123 = 0.9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −40.83/0.9701 = −42.09 kN

答え

F_AB = −42.09 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 65 kN, R₂ = 35 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 130, M_C = 170, M_D = 210 kN·m, M_E = 140, M_F = 70, M_G = 0

答え

点 D: M_D = 210 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_max = 8.862 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·5.5 = 33 kN、作用点 x̄ = 2.75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·5.5·2.75

R_B = 90.75/4 = 22.69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 33 − 22.69 = 10.31 kN

せん断力 0 の位置

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 10.31/6 = 1.719 m

最大の正の曲げモーメント

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 10.31²/(2·6) = 8.862 kN·m

答え

M_max = 8.862 kN·m

7.はりのたわみ

答え: θ_A = 0.01558 rad

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。たわみ角 θ = dv/dx は M/(EI) の 1 回目の積分です。単位をそろえればラジアンで得られます。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

端部のたわみ角

θ_A = wL³/(24EI) = 15·2500³/(24·6.27 × 10¹¹) = 0.01558 rad

答え

θ_A = 0.01558 rad

これは 0.8924° です。

8.はりのたわみ

答え: R_B = 22.5 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支点 B での適合条件

支点反力 R_B だけで自由端は R_BL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22.5 kN

答え

R_B = 22.5 kN

9.柱の座屈

答え: P_cr = 99.66 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2100² = 99663 N = 99.66 kN

答え

P_cr = 99.66 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 17.48 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/6.25 = 336

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/336² = 17.48 MPa

答え

σ_cr = 17.48 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (30000·150 − 1963·180)/(30000 − 1963) = 147.9 mm

ȳ まわりの全体の板

100·300³/12 + 30000·2.101² = 225.1 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·50⁴/64 + 1963·32.1² = 2.33 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 168.2 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

ウェブ: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·155 + 2800·70)/9400 = 129.7 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·30³/12 + 6600·(155 − 129.7)² = 4.726 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 20·140³/12 + 2800·(70 − 129.7)² = 1.455 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.726 × 10⁶ + 1.455 × 10⁷ = 1.927 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 129.7 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·129.7/1.927 × 10⁷ = 168.2 MPa

答え

σ_下端 = 168.2 MPa

13.地盤の有効応力

答え: u = 39.24 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

答え

u = 39.24 kPa

14.地盤の有効応力

答え: u = 68.67 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·7 = 68.67 kPa

答え

u = 68.67 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 44.24 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 115 + 120 = 235 kPa > 215 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.05·2.5/(1 + 0.75)·log₁₀(215/115) + 0.45·2.5/(1 + 0.75)·log₁₀(235/215)

S = 19.41 + 24.83 = 44.24 mm

答え

S = 44.24 mm

16.圧密沈下

答え: t = 3491 日

排水距離

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 5.5 m

時間を換算する

t = T_v·H_dr²/c_v。T_v と c_v は室内と現場で同じです。

t_field = 15·(5.5/0.0095)² = 5.028 × 10⁶ min

t_field = 5.028 × 10⁶/1440 = 3491 日

答え

t = 3491 日

17.静水圧

答え: F = 73.58 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

答え

F = 73.58 kN

18.静水圧

答え: F = 78.48 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·4 = 78.48 kN

答え

F = 78.48 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 405 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(1000/0.1)·1.8²/(2·9.81) = 41.28 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·41.28 = 405000 Pa = 405 kPa

答え

Δp = 405 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 2.03 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.07069 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

損失係数

f·L/D = 0.015·150/0.3 = 7.5

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 7.5 + 11.4)·0.102 = 2.03 m

答え

H = 2.03 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 0.3363 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = 0.2827 m², R = D/4 = 0.15 m

速度

V = (1/0.013)·0.15^2/3·0.003^1/2 = 1.189 m/s

流量

Q = A·V = 0.2827·1.189 = 0.3363 m³/s

答え

Q = 0.3363 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.003209 m/m

断面の形状

A = b·y = 4.5·1.6 = 7.2 m²

P = b + 2y = 4.5 + 2·1.6 = 7.7 m

R = A/P = 0.9351 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·13/(7.2·0.9562) = 0.05665

S = 0.05665² = 0.003209

答え

S = 0.003209

これは 1 km あたり 3.209 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: η = 71.99 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·50 = 73.58 kW

効率

η = P_h/P_shaft = 73.58/102.2 = 71.99%

答え

η = 71.99%

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 67.87 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 6)·0.2611 = 8.095 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 19 + 40.77 + 8.095 = 67.87 m

答え

H = 67.87 m

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 7863 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

年金現価係数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.7903)/0.04 = 5.242

現在価値

PV = 1 500·5.242 = €7 863.21

答え

PV = €7 863.21

26.貨幣の時間価値

答え: I = 1904 €

毎月の返済額

i = 0.005, N = 36

A = 20 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻³⁶) = €608.44

利息の総額

I = N·A − P = 36·608.4 − 20 000 = €1 903.79

答え

I = €1 903.79

27.NPV と IRR

答え: NPV = 177.7 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

各キャッシュフローの現在価値

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 33 000/1.09 = 30 275.23

CF₂/(1 + 0.09)² = 35 000/1.188 = 29 458.80

CF₃/(1 + 0.09)³ = 20 000/1.295 = 15 443.67

合計する

NPV = €177.70

答え

NPV = €177.70

NPV は正なので、このプロジェクトは要求収益率より多く稼ぎます。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 38.79 %

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(35%) = 969.36

NPV(40%) = −291.55

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 35 + 5·969.36/(969.36 − (−291.55)) = 38.84%

正確な値: NPV(38.79%) = 0 → IRR = 38.79%

答え

IRR = 38.79%

29.正規分布

答え: z = 1.72

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.9146)/2 = 0.9573

z 表を逆に読む

表の中で 0.9573 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.72

答え

z = 1.72

30.正規分布

答え: P = 0.7389

正規変数の和と差：X と Y が独立で正規分布に従うなら、X + Y と X − Y も正規分布に従います。平均は足したり引いたりします：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。分散は差の場合でも常に足します：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²、したがって σ = √(σ_X² + σ_Y²) です。標準偏差を直接足すことはありません。同じ分布に従う独立な n 個の合計は、平均 n·μ、標準偏差 σ·√n です。そのあとはいつもどおり標準化します：z = (x − 平均)/σ とし、Φ(z) を読み取ります。

差の分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

標準化する

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

確率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答え

P = 0.7389

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