FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
等分布荷重
合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント
M = F·d

解き方

  1. 自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
  2. 分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
  3. 一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
  4. ΣFy = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
切断法
ΣM = 0 about a cut point
部材力
正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

  1. トラス全体の支点反力を求めます。
  2. 節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を使います。
  3. 断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
  4. 引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント
V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力
σ = M·y/I
長方形
I = bh³/12
断面係数
W = I/ymax
単純支持、等分布荷重
Mmax = wL²/8

解き方

  1. はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
  2. 必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
  3. せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
  4. 最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重
δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持
δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重
δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重
δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理
δ = δ1 + δ2

柱の座屈

オイラー座屈荷重
Pcr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数
K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力
σcr = Pcr/A
細長比
λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
長方形
I = bh³/12
平行軸の定理
I = Ic + A·d²
組合せ断面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

地盤の有効応力

全応力
σ = Σγi·hi
間隙水圧
u = γw·(z − zw)
有効応力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最終応力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
過圧密、σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
過圧密比
OCR = σ′p/σ′0
圧密時間
t = Tv·Hdr²/cv
排水距離
Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
径深
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形
A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）
R = D/4
必要な水路勾配
S = (n·Q/(A·R2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値
FV = PV·(1 + i)n
現在価値
PV = FV/(1 + i)n
年に複数の期間
i = r/m, N = m·n
年金現価
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金終価
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

解き方

  1. すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
  2. 利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
  3. 一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
  4. 答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
均等なキャッシュフロー
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部収益率
NPV = 0 となる r
判断
NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

  1. すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
  2. 各キャッシュフローを割り引きます：CFt/(1 + r)t。
  3. それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
  4. IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア
z = (x − μ)/σ
x 未満
P(X < x) = Φ(z)
x より大きい
P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間
Φ(z2) − Φ(z1)
パーセンタイル
x = μ + z·σ

解き方

  1. 値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
  2. z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
  3. 右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
  4. パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう
P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​ = ?1.5 m1 m1.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 4 mP1 = 30 kN 位置 1.5 mP2 = 25 kN 位置 2.5 m
RB = kN
2.はりの支点反力むずかしい
w = 8 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?1 m1.5 m2.5 m

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 RB を求めよ。

L = 5 mP = 25 kN 位置 2.5 mw = 8 kN/m（1 から 5 m まで）
RB = kN
3.トラス：節点法ふつう
ABBCACACB10 kN8 m7 m4 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 4 mB は A から 7 m鉛直荷重 = 10 kN
FBC = kN
4.トラス：節点法むずかしい
ABBCACACB60 kN25 kN6 m4 m2 m

節点法を使って部材 BC の軸力 FBC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 4 m鉛直荷重 = 60 kN水平荷重 = 25 kN ←
FBC = kN
5.せん断力と曲げモーメントふつう
w = 8 kN/mAB断面3.5 m6.5 m

支点 A から x = 3.5 m の断面における曲げモーメント Mx を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 8 kN/m（0 から 10 m まで）x = 3.5 m
Mx = kN·m
6.せん断力と曲げモーメントむずかしい
w = 8 kN/mABC8 m2 m

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。 支点間の最大の正の曲げモーメント Mmax を求めよ。

L = 10 mw = 8 kN/m（0 から 10 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m
Mmax = kN·m
7.はりのたわみふつう
P = 15 kNABδ1.5 m0.5 m

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。 荷重位置のたわみ δP を求めよ。

P = 15 kNa = 1.5 mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.はりのたわみむずかしい
P = 15 kNAB2.5 m2.5 m

一端固定・他端支持ばりは A で固定され、B で単純支持されている。スパン中央に集中荷重 P が作用する。EI は一定である。 支点 B の反力 RB を求めよ。

L = 5 mP = 15 kN 位置 2.5 m
RB = kN
9.柱の座屈ふつう
PL = 3 md = 30 mm断面

アルミニウム製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 Pcr を求めよ。

L = 3 mE = 70 GPa (アルミニウム)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱の座屈むずかしい
P = 130 kNL = 2 md = ?断面

鋼製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 2.5 で 130 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 130 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (鋼)
d = mm
11.図心と断面二次モーメントふつう
3002012020x寸法の単位：mm

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメントむずかしい
170290123101010x寸法の単位：mm

溶接 I 形断面は、上フランジ 170 × 12 mm、高さ 310 mm・厚さ 10 mm のウェブ、下フランジ 290 × 10 mm（幅 × 厚さ）からなる。図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント Ix を求めよ。

上フランジ: 170 × 12 mmウェブ: 10 × 310 mm下フランジ: 290 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力ふつう
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 19.5 kN/m³11 m地下水位Xz = 11 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 11 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.地盤の有効応力むずかしい
砂γd​ = 16.5 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³4 m粘土γsat​ = 18.5 kN/m³8 m地下水位Xz = 8 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 8 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³粘土: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
15.圧密沈下ふつう
Δσ = 190 kPa砂粘土Cc​ = 0.3, Cr​ = 0.06e0​ = 0.75σ′0​ = 105 kPaσ′p​ = 195 kPa2 m地下水位

厚さ 2 m の過圧密粘土層の Cc = 0.3、Cr = 0.06、e₀ = 0.75 である。中央深さでの有効鉛直応力は 105 kPa であり、 圧密降伏応力は 195 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 190 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 2 mCc = 0.3Cr = 0.06e0 = 0.75σ′0 = 105 kPaσ′p = 195 kPaΔσ = 190 kPa
S = mm
16.圧密沈下むずかしい
砂粘土H = 4 mcv​ = 1 m²/年度4 m不透水性の岩盤地下水位

厚さ 4 m の粘土層の圧密係数は cv = 1 m²/年である。 不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。 平均圧密度 90% に対する時間係数は Tv = 0.848 である。この層が圧密度 90% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 4 mcv = 1 m²/年度U = 90%Tv = 0.848片面排水
t = 年
17.静水圧ふつう
ゲートd = 3 mH = 2 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水圧むずかしい
ゲートd = 2 mH = 3 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 0.8 m/sD = 50 mmL = 150 mf = 0.03

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 150 m、内径 50 mm の水平管内を 0.8 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 0.8 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 0.2Δz = ?L = 100 m, D = 200 mm, f = 0.0184× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 100 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 100 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
21.開水路の流れ（マニング）ふつう
b = 5.5 my = 1 m1.5 : 1n = 0.014, S = 0.0015

台形の仕上げのないコンクリートの水路の底幅は 5.5 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 1 m の等流で流れている。 マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.0015 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 5.5 my = 1 mz = 1.5n = 0.014S = 0.0015
Q = m³/s
22.開水路の流れ（マニング）むずかしい
D = 375 mmn = 0.013, V = 1.2 m/s

内径 375 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 1.2 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 375 mmn = 0.013V = 1.2 m/s
S = m/m
23.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 15 L/sH = 28 m

効率 60% のポンプが揚程 28 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 15 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 15 L/sH = 28 mη = 60%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
24.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 120 L/sΔz = 13 mL = 200 m, D = 250 mm, f = 0.02, ΣK = 4

ポンプが 120 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 13 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 85% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 120 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 4η = 85%
Pshaft = kW
25.貨幣の時間価値ふつう
年01234567PV = ?€10 000

7 年後に €10 000 が必要です。口座の利率は年 2%、四半期複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €10 0002% / 4n = 7
PV = €
26.貨幣の時間価値むずかしい
年0123…9€5 000€5 000€5 000FV = ?

9 年間、毎年初めに €5 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 4% です。9 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €5 000i = 4%n = 9
FV = €
27.NPV と IRRふつう
年0123…10€20 000€4 000€4 000€4 000€4 000r = 6%, EAC = ?

ある機械の費用は今日 €20 000、耐用年数は 10 年、運転費は毎年 €4 000（各年末に支払い）です。資本コストは 6% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C0 = €20 000M = €4 000n = 10r = 6%
EAC = €
28.NPV と IRRむずかしい
年0123−20 0006 5006 5008 000

あるプロジェクトの費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €6 500, €6 500, €8 000 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 8% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 8%CF0 = −20 000CF1 = 6 500CF2 = 6 500CF3 = 8 000
MIRR = %
29.正規分布ふつう
247.5254P = ?

袋の重さは、平均 250 g、標準偏差 5 g の正規分布に従います。247.5 から 254 g の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 250σ = 5x1 = 247.5x2 = 254
P =
30.正規分布むずかしい
157164171178185192199cm下端 75%

成人男性の身長 は、平均 178 cm、標準偏差 7 cm の正規分布に従います。色つきの下位 75% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 178 cmσ = 7 cm75%
x = cm

3溶液

1.はりの支点反力

答え: RB = 26.88 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

P1​ = 30 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​1.5 m1 m1.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣMA = 0: RB·4 = 30·1.5 + 25·2.5
RB = 107.5/4 = 26.88 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 26.88 = 28.13 kN

答え

RB = 26.88 kN
2.はりの支点反力

答え: RB = 31.7 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣFx = 0、ΣFy = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

w = 8 kN/mP = 25 kNABRA​RB​1 m1.5 m2.5 m

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN、作用点 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·2.5 + 8·4·3
RB = 158.5/5 = 31.7 kN
ΣFy = 0: RA = 57 − 31.7 = 25.3 kN

答え

RB = 31.7 kN
3.トラス：節点法

答え: FBC = −9.019 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·7 → Cy = 8.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 8.75 = 1.25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8.75/0.9701 = −9.019 kN

答え

FBC = −9.019 kN (圧縮)
4.トラス：節点法

答え: FBC = −44.78 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣFx = 0、ΣFy = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

ABBCACACB60 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣMA = 0: Cy·6 = 60·4 − 25·2 → Cy = 31.67 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 31.67 = 28.33 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −31.67/0.7071 = −44.78 kN

答え

FBC = −44.78 kN (圧縮)
5.せん断力と曲げモーメント

答え: Mx = 91 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 40RB​ = 40断面3.5 m6.5 m

x = 3.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = RA·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）
Mx = 40·3.5 − 8·3.5·1.75 = 91 kN·m

答え

Mx = 91 kN·m
6.せん断力と曲げモーメント

答え: Mmax = 56.25 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN、作用点 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 8·10·5
RB = 400/8 = 50 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 50 = 30 kN

せん断力 0 の位置

RA − w·x0 = 0 → x0 = 30/8 = 3.75 m

最大の正の曲げモーメント

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = RA²/(2w) = 30²/(2·8) = 56.25 kN·m

答え

Mmax = 56.25 kN·m
7.はりのたわみ

答え: δP = 2.87 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 15000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²

荷重位置のたわみ

δP = Pa³/(3EI) = 15000·1500³/(3·5.88 × 10¹²) = 2.87 mm

答え

δP = 2.87 mm
8.はりのたわみ

答え: RB = 4.688 kN

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。 不静定ばりでは、余分な支点を 1 つ取り除き、そこでのたわみが 0 になる条件（適合条件）を課します。

支点 B を取り除く

支点 B がなければ、はりは片持ちばりです。その自由端は荷重によってたわみます。

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支点 B での適合条件

支点反力 RB だけで自由端は RBL³/(3EI) 持ち上がります。支点 B はたわみを 0 に保つので、両者は打ち消し合わなければなりません。EI は消去されます。

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·15/16 = 4.688 kN

答え

RB = 4.688 kN
9.柱の座屈

答え: Pcr = 12.21 kN

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

座屈荷重

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1500² = 12209 N = 12.21 kN

答え

Pcr = 12.21 kN
10.柱の座屈

答え: d = 50.64 mm

オイラー座屈：細長い柱は Pcr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

必要な座屈荷重

Pcr = n·P = 2.5·130000 = 325000 N
KL = 0.7·2000 = 1400 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 50.64 mm

答え

d = 50.64 mm

確認：細長比 KL/r は 110.6 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 11.48 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 120 + 20/2 = 130 mm
ウェブ: Aw = 20·120 = 2400 mm², yw = 120/2 = 60 mm

図心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6000·130 + 2400·60)/8400 = 110 mm

平行軸の定理

フランジ: 300·20³/12 + 6000·(130 − 110)² = 2.6 × 10⁶ mm⁴
ウェブ: 20·120³/12 + 2400·(60 − 110)² = 8.88 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2.6 × 10⁶ + 8.88 × 10⁶ = 1.148 × 10⁷ mm⁴ = 11.48 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 11.48 × 10⁶ mm⁴
12.図心と断面二次モーメント

答え: Ix = 149.7 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

3 つの長方形に分割

y はすべて下端から測ります。

上フランジ: A = 2040 mm², y = 326 mm
ウェブ: A = 3100 mm², y = 165 mm
下フランジ: A = 2900 mm², y = 5 mm

図心

ȳ = (2040·326 + 3100·165 + 2900·5)/8040 = 148.1 mm

平行軸の定理

上フランジ: 170·12³/12 + 2040·177.9² = 6.456 × 10⁷ mm⁴
ウェブ: 10·310³/12 + 3100·16.86² = 2.571 × 10⁷ mm⁴
下フランジ: 290·10³/12 + 2900·143.1² = 5.944 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.456 × 10⁷ + 2.571 × 10⁷ + 5.944 × 10⁷
Ix = 1.497 × 10⁸ mm⁴ = 149.7 × 10⁶ mm⁴

答え

Ix = 149.7 × 10⁶ mm⁴
13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 113.4 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16.5·1 + 19.5·10 = 211.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·10 = 98.1 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 211.5 − 98.1 = 113.4 kPa

答え

σ′ = 113.4 kPa
14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 94.45 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·3 + γsat,sand·1 + γsat,clay·4
σ = 16.5·3 + 20·1 + 18.5·4 = 143.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 143.5 − 49.05 = 94.45 kPa

答え

σ′ = 94.45 kPa
15.圧密沈下

答え: S = 80.08 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′f = 105 + 190 = 295 kPa > 195 kPa

沈下量

σ′p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.06·2/(1 + 0.75)·log₁₀(195/105) + 0.3·2/(1 + 0.75)·log₁₀(295/195)
S = 18.44 + 61.64 = 80.08 mm

答え

S = 80.08 mm
16.圧密沈下

答え: t = 13.57 年

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

排水距離

Hdr = H = 4 m

時間

t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·4²/1 = 13.57 年

答え

t = 13.57 年
17.静水圧

答え: F = 117.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
ゲートd = 3 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

答え

F = 117.7 kN
18.静水圧

答え: F = 206 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
ゲートd = 2 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

答え

F = 206 kN
19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 28.8 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(150/0.05)·0.8²/(2·9.81) = 2.936 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·2.936 = 28800 Pa = 28.8 kPa

答え

Δp = 28.8 kPa
20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 6.145 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s
V²/(2g) = 0.5164 m

損失係数

f·L/D = 0.018·100/0.2 = 9
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

全損失水頭

hf = 9·0.5164 = 4.648 m
hm = 2.9·0.5164 = 1.498 m
Δz = hf + hm = 6.145 m

答え

Δz = 6.145 m
21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 16.25 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 1.5·1)·1 = 7 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·1·√(1 + 1.5²) = 9.106 m
R = A/P = 0.7688 m

速度

V = (1/0.014)·0.76882/3·0.00151/2 = 2.322 m/s

流量

Q = A·V = 7·2.322 = 16.25 m³/s

答え

Q = 16.25 m³/s
22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.005714 m/m

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R2/3·S1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

径深

R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R2/3)² = (0.013·1.2/0.2064)² = 0.005714

答え

S = 0.005714

これは 1 km あたり 5.714 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 6.867 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·28 = 4.12 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 4.12/0.6 = 6.867 kW

答え

Pshaft = 6.867 kW
24.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 26.44 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 4)·0.3046 = 6.092 m

ポンプ揚程

H = Δz + hL = 13 + 6.092 = 19.09 m

軸動力

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·19.09/0.85 = 26.44 kW

答え

Pshaft = 26.44 kW
25.貨幣の時間価値

答え: PV = 8697 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.02/4 = 0.005
N = 4·7 = 28

現在価値

PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1.15 = €8 696.62

答え

PV = €8 696.62
26.貨幣の時間価値

答え: FV = 55031 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)n のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

通常の年金係数

((1 + 0.04)9 − 1)/0.04 = 10.58

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 5 000·10.58·1.04 = €55 030.54

答え

FV = €55 030.54
27.NPV と IRR

答え: EAC = 6717 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.06−10)/0.06 = 7.36

年換算した購入価格

20 000/7.36 = 2 717.36

EAC

EAC = 2 717.36 + 4 000 = €6 717.36

答え

EAC = €6 717.36
28.NPV と IRR

答え: MIRR = 4.161 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

6 500·1.082 = 7 581.60
6 500·1.081 = 7 020.00
8 000·1.080 = 8 000.00
TV = 22 601.60

MIRR

MIRR = (22 601.60/20 000)1/3 − 1 = 4.161%

答え

MIRR = 4.161%
29.正規分布

答え: P = 0.4796

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (247.5 − 250)/5 = −0.5
z₂ = (254 − 250)/5 = 0.8

間の面積

P = Φ(0.8) − Φ(−0.5) = 0.7881 − 0.3085 = 0.4796

答え

P = 0.4796
30.正規分布

答え: x = 182.7 cm

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.75

表からの z

z ≈ 0.67

元の単位に戻す

x = 178 + 0.67·7 = 182.7 cm

答え

x = 182.7 cm

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