FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。A から 2 m の位置に集中荷重 P が、A から 5 m の位置に反時計回りの偶力 M が作用する。上向きを正として鉛直反力 R_A を求めよ。

L = 10 mP = 80 kN 位置 2 mM = 50 kN·m (反時計回り) 位置 5 m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

複合ばりは A で壁に固定され、C（A から 3 m）に中間ヒンジをもち、D（A から 8 m）でローラーに支持されている。荷重は A から 6 m の位置の集中荷重 P, 部分 CD 全体の等分布荷重 w および A から 1 m の位置の集中荷重 Q である。ローラーの反力 R_D を求めよ。

AC = 3 mAD = 8 mP = 60 kN 位置 6 mw = 4 kN/m（3 から 8 m まで）Q = 65 kN 位置 1 m

R_D = kN

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

F: 15 kN ↓G: 20 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

4.トラス：節点法むずかしい

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

B: 10 kN ↓D: 20 kN ↓F: 15 kN ↓H: 10 kN ←

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 FC
13部材 HC

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 3 m4 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 4 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 6 mP = 40 kN 位置 4 mw = 2 kN/m（0 から 6 m まで）x = 4 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの支点 A から a = 1.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。荷重位置のたわみ δ_P を求めよ。

P = 15 kNa = 1.5 mL = 5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w が作用する。たわみはスパン/360 を超えてはならない。この制限を満たす最小の断面二次モーメント I_req を求めよ。

w = 20 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (鋼)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が下端固定・上端自由である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 6 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 200 GPa (鋼)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

T 形断面の、図心を通る水平軸 x に関する断面二次モーメント I_x を求めよ。

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 15 kN·m を受ける。下端の曲げ応力 σ_下端を求めよ。

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_下端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 10 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³粘土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 4.5 m の過圧密粘土層の C_c = 0.3、C_r = 0.05、e₀ = 1 である。中央深さでの有効鉛直応力は 80 kPa であり、圧密降伏応力は 150 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 100 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 4.5 mC_c = 0.3C_r = 0.05e₀ = 1σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 150 kPaΔσ = 100 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 9 m の粘土層の圧密係数は c_v = 2 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 50% に対する時間係数は T_v = 0.197 である。この層が圧密度 50% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 9 mc_v = 2 m²/年度U = 50%T_v = 0.197両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水が、長さ 400 m、内径 200 mm の管内を 100 L/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 h_f を求めよ。

Q = 100 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 300 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 150 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 150 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形のれんが積みの水路の底幅は 1 m、側面勾配は 1.5:1（水平:鉛直）である。水は水深 0.6 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.015、水路床勾配は S = 0.002 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 1 my = 0.6 mz = 1.5n = 0.015S = 0.002

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

幅 2 m の長方形の仕上げのないコンクリートの水路は、水深 2.4 m の等流で 6.1 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.014。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 6.1 m³/sb = 2 my = 2.4 mn = 0.014

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 80% のポンプが揚程 26 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 10 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 10 L/sH = 26 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 20 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 75 L/sΔz = 20 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 8

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

4 年後に €25 000 が必要です。口座の利率は年 4.8%、月複利です。今日いくら預ければよいですか？現在価値 PV を求めなさい。

FV = €25 0004.8% / 12n = 4

PV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€150 000 のローンを、年 3%、月複利で 20 年間の元利均等の月払いで返済します。ローン期間全体で支払う利息の合計 I はいくらですか？

P = €150 0003% / 12N = 240

I = €

27.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €80 000 です。6 年間、毎年末に €13 500 を生み、その後 €20 000 で売却できます。資本コストは 8% です。正味現在価値 NPV を求めなさい。

C₀ = €80 000CF = €13 500S = €20 000n = 6r = 8%

NPV = €

28.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €30 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €17 000, €10 500, €7 000 を生みます。プロジェクト B の費用は €40 000 で、€11 000, €15 000, €21 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −30 000, 17 000, 10 500, 7 000B: −40 000, 11 000, 15 000, 21 000

r* = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.6875 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.6875

z =

30.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。色つきの上位 10% が右側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 65 点σ = 10 点10%

x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 69 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·10 − 80·2 + 50 = 0

R_B = 110/10 = 11 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 80 − 11 = 69 kN

答え

R_A = 69 kN

負の反力は下向きに作用します。

2.はりの支点反力

答え: R_D = 46 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。中間ヒンジは曲げモーメントを伝えられないので、追加の式が 1 つ得られます：ヒンジのどちら側についても、その側の力のヒンジまわりのモーメントは 0 です。

部分 CD

ヒンジにはモーメントがないので、CD だけについての C まわりのモーメントがつり合わなければなりません。

W = 4·5 = 20 kN 位置 2.5 m 起点 C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 60·3 + 20·2.5

R_D = 46 kN

V_C = 80 − 46 = 34 kN

答え

R_D = 46 kN

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 21.25 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 13.75 kN (T), FG: 21.25 kN (C), GH: 13.75 kN (C), AF: 30.05 kN (C), HE: 19.45 kN (C), BF: 6.25 kN (T), CG: 0, DH: 13.75 kN (T), BG: 8.839 kN (C), DG: 19.45 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: 部材 CG

節点 G

FG と GH は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 10.31 kN (T), BC: 10.31 kN (T), CD: 13.44 kN (T), DE: 13.44 kN (T), FG: 21.88 kN (C), GH: 21.88 kN (C), AF: 33.85 kN (C), HE: 22.4 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 2.604 kN (T), HC: 2.604 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 3 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 20.33 kN, R₂ = 25.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 20.33, M_C = 40.67, M_D = 59 kN·m, M_E = 43.33, M_F = 23.67, M_G = 0

答え

点 D: M_D = 59 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 61.33 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·4 + 2·6·3

R_B = 196/6 = 32.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52 − 32.67 = 19.33 kN

x = 4 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 19.33·4 − 2·4·2 = 61.33 kN·m

答え

M_x = 61.33 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_P = 29.83 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 15000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

荷重位置のたわみ

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 15000·1500²·3500²/(3·9.24 × 10¹¹·5000) = 29.83 mm

答え

δ_P = 29.83 mm

8.はりのたわみ

答え: I_req = 1.582 × 10⁶ mm⁴

たわみの制限

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

必要な断面二次モーメント

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·1500⁴/(384·200000·4.167) = 1.582 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1.582 × 10⁶ mm⁴

答え

I_req = 1.582 × 10⁶ mm⁴

9.柱の座屈

答え: P_cr = 2.047 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 2·6000 = 12000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/12000² = 2047 N = 2.047 kN

答え

P_cr = 2.047 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 49.35 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/12.5 = 200

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

答え

σ_cr = 49.35 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 10.12 × 10⁶ mm⁴

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

ウェブ: A_w = 10·160 = 1600 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·165 + 1600·80)/3800 = 129.2 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·10³/12 + 2200·(165 − 129.2)² = 2.836 × 10⁶ mm⁴

ウェブ: 10·160³/12 + 1600·(80 − 129.2)² = 7.288 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.836 × 10⁶ + 7.288 × 10⁶ = 1.012 × 10⁷ mm⁴ = 10.12 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 10.12 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_下端 = 78.17 MPa

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287.5 mm

ウェブ: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·287.5 + 2240·140)/5540 = 227.9 mm

平行軸の定理

フランジ: 220·15³/12 + 3300·(287.5 − 227.9)² = 1.18 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 8·280³/12 + 2240·(140 − 227.9)² = 3.193 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.18 × 10⁷ + 3.193 × 10⁷ = 4.373 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

下端は軸から ȳ の位置にあります。

y = 227.9 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·227.9/4.373 × 10⁷ = 78.17 MPa

答え

σ_下端 = 78.17 MPa

13.地盤の有効応力

答え: u = 78.48 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·8 = 78.48 kPa

答え

u = 78.48 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 59.07 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 16·2 + 19.5·1 + 18.5·2 = 88.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 88.5 − 29.43 = 59.07 kPa

答え

σ′ = 59.07 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 84.16 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 80 + 100 = 180 kPa > 150 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.05·4.5/(1 + 1)·log₁₀(150/80) + 0.3·4.5/(1 + 1)·log₁₀(180/150)

S = 30.71 + 53.45 = 84.16 mm

答え

S = 84.16 mm

16.圧密沈下

答え: t = 1.995 年

排水距離

H_dr = H/2 = 9/2 = 4.5 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·4.5²/2 = 1.995 年

答え

t = 1.995 年

17.静水圧

答え: F = 257.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·5 = 257.5 kN

答え

F = 257.5 kN

18.静水圧

答え: F = 61.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·2 = 61.8 kN

答え

F = 61.8 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: h_f = 22.72 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²

V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 3.183²/(2·9.81) = 0.5164 m

ダルシー・ワイスバッハの式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(400/0.2)·3.183²/(2·9.81) = 22.72 m

答え

h_f = 22.72 m

20.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 17.32 m

速度

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s

V²/(2g) = 0.4759 m

損失係数

f·L/D = 0.02·300/0.25 = 24

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

全損失水頭

h_f = 24·0.4759 = 11.42 m

h_m = 12.4·0.4759 = 5.902 m

Δz = h_f + h_m = 17.32 m

答え

Δz = 17.32 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 1.721 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (1 + 1.5·0.6)·0.6 = 1.14 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0.6·√(1 + 1.5²) = 3.163 m

R = A/P = 0.3604 m

速度

V = (1/0.015)·0.3604^2/3·0.002^1/2 = 1.51 m/s

流量

Q = A·V = 1.14·1.51 = 1.721 m³/s

答え

Q = 1.721 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0005036 m/m

断面の形状

A = b·y = 2·2.4 = 4.8 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2.4 = 6.8 m

R = A/P = 0.7059 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·6.1/(4.8·0.7928) = 0.02244

S = 0.02244² = 0.0005036

答え

S = 0.0005036

これは 1 km あたり 0.5036 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 3.188 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·26 = 2.551 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 2.551/0.8 = 3.188 kW

答え

P_shaft = 3.188 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 25.23 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 8)·0.2905 = 5.229 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 20 + 5.229 = 25.23 m

答え

H = 25.23 m

25.貨幣の時間価値

答え: PV = 20641 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·4 = 48

現在価値

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.211 = €20 640.58

答え

PV = €20 640.58

26.貨幣の時間価値

答え: I = 49655 €

毎月の返済額

i = 0.0025, N = 240

A = 150 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻²⁴⁰) = €831.90

利息の総額

I = N·A − P = 240·831.9 − 150 000 = €49 655.14

答え

I = €49 655.14

27.NPV と IRR

答え: NPV = −4988 €

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

毎年のキャッシュフローの現在価値

13 500·4.623 = 62 408.88

残存価値の現在価値

20 000/1.587 = 12 603.39

NPV

NPV = −80 000 + 62 408.88 + 12 603.39 = −€4 987.73

答え

NPV = −€4 987.73

28.NPV と IRR

答え: r* = 6.281 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −40 000 − (−30 000) = −10 000

ΔCF₁ = 11 000 − 17 000 = −6 000

ΔCF₂ = 15 000 − 10 500 = 4 500

ΔCF₃ = 21 000 − 7 000 = 14 000

差の IRR

NPV_Δ(6%) = 99.28

NPV_Δ(7%) = −248.83

r* = 6.281%

答え

r* = 6.281%

確認：6.281% では両方の NPV が €1 121.64 です。

29.正規分布

答え: z = 1.01

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.6875)/2 = 0.8438

z 表を逆に読む

表の中で 0.8438 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.01

答え

z = 1.01

30.正規分布

答え: x = 77.8 点

左側の面積

Φ(z) = 0.9

表からの z

z ≈ 1.28

元の単位に戻す

x = 65 + 1.28·10 = 77.8 点

答え

x = 77.8 点

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