FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばり（A がピン支点、B がローラー支点）に、A で 0 から B で 6 kN/m まで直線的に増加する分布荷重が作用する。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 5 mw₀ = 6 kN/m

R_A = kN

2.はりの支点反力むずかしい

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_A を求めよ。

L = 5 mP = 40 kN 位置 3 mw = 8 kN/m（2 から 4 m まで）

R_A = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 30 kN

F_AB = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 8 m高さ = 3 mB は A から 7 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 30 kN →

F_BC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

支点 A から x = 2.5 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 4 mw = 12 kN/m（0 から 4 m まで）x = 2.5 m

M_x = kN·m

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

はりは A でピン支点、B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで 2 m 張り出している。全長 A–C に等分布荷重 w が作用する。支点 B における曲げモーメント M_B を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 10 mw = 6 kN/m（0 から 10 m まで）支点の位置 x = 0 と x = 8 m

M_B = kN·m

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 5 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりの支点 B から b = 1 m の位置に集中荷重 P が作用する。はりの最大たわみ δ_max を求めよ。

P = 26 kNb = 1 mL = 5 mE = 200 GPa (鋼)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2 mE = 200 GPa (鋼)d = 20 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

アルミニウム製の長さ L の中実円柱が下端固定・上端ピンである。座屈に対する安全率 3 で 115 kN を支える必要がある。最小直径 d を求めよ。

P = 115 kNn = 3L = 4 mE = 70 GPa (アルミニウム)

d = mm

11.図心と断面二次モーメントふつう

200 mm × 240 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 60 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 84 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 200 mmh = 240 mmd = 60 mm穴の中心: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

200 mm × 240 mm の板に、幅 30 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 156 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 200 mmh = 240 mm切り欠き: 30 × 20 mm穴の中心: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

u = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³粘土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 6 m の過圧密粘土層の C_c = 0.25、C_r = 0.05、e₀ = 0.65 である。中央深さでの有効鉛直応力は 90 kPa であり、圧密降伏応力は 170 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 130 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 6 mC_c = 0.25C_r = 0.05e₀ = 0.65σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 130 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 10 m の粘土層の圧密係数は c_v = 5 m²/年である。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。平均圧密度 70% に対する時間係数は T_v = 0.403 である。この層が圧密度 70% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 10 mc_v = 5 m²/年度U = 70%T_v = 0.403片面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 150 m、内径 200 mm の水平管内を 2.5 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2.5 m/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.025ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 23 m 高い。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 23 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形のきれいな土の水路の底幅は 5.5 m、側面勾配は 3:1（水平:鉛直）である。水は水深 1.4 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.022、水路床勾配は S = 0.005 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 5.5 my = 1.4 mz = 3n = 0.022S = 0.005

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 1.5 m、側面勾配 2:1（水平:鉛直）の台形のきれいな土の水路は、水深 1 m の等流で 5 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.022。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 5 m³/sb = 1.5 my = 1 mz = 2n = 0.022

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 82% のポンプが揚程 78 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 15 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 15 L/sH = 78 mη = 82%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 60 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 60 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 3%、四半期複利で €3 000 を投資します。5 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €3 0003% / 4n = 5

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€25 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 3.6%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €25 0003.6% / 12N = 72

A = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €60 000 で、6 年間、毎年末に €17 000 を生みます。資本コストは 6% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 17 000CF₂ = 17 000CF₃ = 17 000CF₄ = 17 000CF₅ = 17 000CF₆ = 17 000

DPB = 年

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトの費用は €50 000 で、1 年目から 4 年目の各年末に €30 000, €17 000, €24 000, €27 500 を生みます。キャッシュフローは資本コスト 8% で再投資できます。修正内部収益率 MIRR をパーセントで求めなさい。

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 30 000CF₂ = 17 000CF₃ = 24 000CF₄ = 27 500

MIRR = %

29.正規分布ふつう

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。422 から 532 h の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 500σ = 40x₁ = 422x₂ = 532

P =

30.正規分布むずかしい

電池の寿命は、平均 500 h、標準偏差 40 h の正規分布に従います。色つきの下位 5% が左側になるように、しきい値をドラッグします。しきい値 x を求めなさい。

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_A = 5 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

三角形分布荷重の合力

W = ½·6·5 = 15 kN

x̄ = 2L/3 = 3.333 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·3.333

R_B = 10 kN

R_A = 15 − 10 = 5 kN

答え

R_A = 5 kN

2.はりの支点反力

答え: R_A = 22.4 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN、作用点 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3 + 8·2·3

R_B = 168/5 = 33.6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 33.6 = 22.4 kN

答え

R_A = 22.4 kN

3.トラス：節点法

答え: F_AB = −33.8 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·3 → C_y = 11.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 11.25 = 18.75 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18.75/0.5547 = −33.8 kN

答え

F_AB = −33.8 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: F_BC = −39.53 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·7 + 30·3 → C_y = 37.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 37.5 = −7.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −37.5/0.9487 = −39.53 kN

答え

F_BC = −39.53 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 22.5 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN、作用点 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·4·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

x = 2.5 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 24·2.5 − 12·2.5·1.25 = 22.5 kN·m

答え

M_x = 22.5 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_B = −12 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。 最大曲げモーメント：dM/dx = V なので、曲げモーメントはせん断力が 0 を通過する位置、つまり集中荷重の位置か分布荷重の区間内で最大になります。

支点反力

張出し部の荷重を含めた、はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN、作用点 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·10·5

R_B = 300/8 = 37.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 37.5 = 22.5 kN

B で切断し、張出し部を残す

張出し部の荷重 w·a は B から a/2 の位置に作用し、はりを支点上で上に凸に曲げます（負の曲げ）。

M_B = −w·a²/2 = −6·2²/2 = −12 kN·m

答え

M_B = −12 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_max = 1.58 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2500⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 1.58 mm

答え

δ_max = 1.58 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 3.44 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 26000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

最大たわみ

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 3.44 mm

答え

δ_max = 3.44 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 15.5 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1000² = 15503 N = 15.5 kN

答え

P_cr = 15.5 kN

10.柱の座屈

答え: d = 94.5 mm

必要な座屈荷重

P_cr = n·P = 3·115000 = 345000 N

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

直径について解く

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·345000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 94.5 mm

答え

d = 94.5 mm

確認：細長比 KL/r は 118.5 なので柱は細長く、オイラーの式が使えます。

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 225.9 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (48000·120 − 2827·84)/(48000 − 2827) = 122.3 mm

ȳ まわりの全体の板

200·240³/12 + 48000·−2.253² = 230.6 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·60⁴/64 + 2827·−38.25² = 4.774 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 225.9 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 225.9 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 229.6 × 10⁶ mm⁴

図心

ȳ = (48000·120 − 600·156)/(48000 − 600) = 119.5 mm

ȳ まわりの全体の板

200·240³/12 + 48000·0.4557² = 230.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·20³/12 + 600·36.46² = 0.8174 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 229.6 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 229.6 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: u = 19.62 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

答え

u = 19.62 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 64.76 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 16·2 + 19.5·1 + 17.5·3 = 104 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 104 − 39.24 = 64.76 kPa

答え

σ′ = 64.76 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 152 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 90 + 130 = 220 kPa > 170 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.05·6/(1 + 0.65)·log₁₀(170/90) + 0.25·6/(1 + 0.65)·log₁₀(220/170)

S = 50.22 + 101.8 = 152 mm

答え

S = 152 mm

16.圧密沈下

答え: t = 8.06 年

排水距離

H_dr = H = 10 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·10²/5 = 8.06 年

答え

t = 8.06 年

17.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN

18.静水圧

答え: F = 32.37 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·1.5 = 32.37 kN

答え

F = 32.37 kN

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 58.59 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(150/0.2)·2.5²/(2·9.81) = 5.973 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·5.973 = 58594 Pa = 58.59 kPa

答え

Δp = 58.59 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 238.6 L/s

損失係数

f·L/D = 0.018·200/0.25 = 14.4

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

23 = (14.4 + 4.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·23/19.1) = 4.861 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.861·0.04909 = 0.2386 m³/s = 238.6 L/s

答え

Q = 238.6 L/s

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 42.06 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 3·1.4)·1.4 = 13.58 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·1.4·√(1 + 3²) = 14.35 m

R = A/P = 0.9461 m

速度

V = (1/0.022)·0.9461^2/3·0.005^1/2 = 3.097 m/s

流量

Q = A·V = 13.58·3.097 = 42.06 m³/s

答え

Q = 42.06 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.002014 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 2·1)·1 = 3.5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1·√(1 + 2²) = 5.972 m

R = A/P = 0.5861 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·5/(3.5·0.7003) = 0.04488

S = 0.04488² = 0.002014

答え

S = 0.002014

これは 1 km あたり 2.014 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 14 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·78 = 11.48 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 11.48/0.82 = 14 kW

答え

P_shaft = 14 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 14.62 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 8)·0.1859 = 7.622 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + h_L = 7 + 7.622 = 14.62 m

答え

H = 14.62 m

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 3484 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.03/4 = 0.0075

N = m·n = 4·5 = 20

将来価値

FV = 3 000·(1 + 0.0075)²⁰ = 3 000·1.161 = €3 483.55

答え

FV = €3 483.55

26.貨幣の時間価値

答え: A = 386.6 €

月利と返済回数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·6 = 72

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.806

A = 25 000·0.003/(1 − 0.806) = €386.59

答え

A = €386.59

27.NPV と IRR

答え: DPB = 4.086 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 17 000/1.06 = 16 037.74 → Σ = 16 037.74

年度 2: 17 000/1.124 = 15 129.94 → Σ = 31 167.68

年度 3: 17 000/1.191 = 14 273.53 → Σ = 45 441.20

年度 4: 17 000/1.262 = 13 465.59 → Σ = 58 906.80

年度 5: 17 000/1.338 = 12 703.39 → Σ = 71 610.18

最後の年の端数

DPB = 4 + 1 093.20/12 703.39 = 4.086

答え

DPB = 4.086 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.529 年）より長くなります。

28.NPV と IRR

答え: MIRR = 22.08 %

修正 IRR：各流入を再投資利率（通常は資本コスト）でプロジェクトの終わりまで複利計算し、終価 TV を求めます。MIRR は初期投資を TV に変える利率です：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入の終価

30 000·1.08³ = 37 791.36

17 000·1.08² = 19 828.80

24 000·1.08¹ = 25 920.00

27 500·1.08⁰ = 27 500.00

TV = 111 040.16

MIRR

MIRR = (111 040.16/50 000)^1/4 − 1 = 22.08%

答え

MIRR = 22.08%

29.正規分布

答え: P = 0.7626

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (422 − 500)/40 = −1.95

z₂ = (532 − 500)/40 = 0.8

間の面積

P = Φ(0.8) − Φ(−1.95) = 0.7881 − 0.02559 = 0.7626

答え

P = 0.7626

30.正規分布

答え: x = 434 h

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

左側の面積

Φ(z) = 0.05

表からの z

z ≈ −1.64

元の単位に戻す

x = 500 − 1.64·40 = 434 h

答え

x = 434 h

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