FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

はりは A でピン支点、A から 3.5 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。上向きを正として鉛直反力 R_B を求めよ。

AB = 3.5 mAC = 5 mP₁ = 25 kN 位置 1 mP₂ = 70 kN 位置 5 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

はりは A でピン支点、A から 3 m の B でローラー支点に支持され、B から自由端 C まで張り出している。A から 1 m の位置に集中荷重 P が作用し、3 m から 4 m の自由端まで等分布荷重 w が作用する。上向きを正として鉛直反力 R_B を求めよ。

AB = 3 mAC = 4 mP = 75 kN 位置 1 mw = 3 kN/m（3 から 4 m まで）

R_B = kN

3.トラス：節点法ふつう

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 5 m高さ = 3 mB は A から 1 m鉛直荷重 = 15 kN

F_AB = kN

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 AB の軸力 F_AB を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 6 m高さ = 2 mB は A から 5 m鉛直荷重 = 55 kN水平荷重 = 30 kN ←

F_AB = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

30 kN @ 2 m10 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

支点 A から x = 4 m の断面における曲げモーメント M_x を求めよ。下側が引張となる曲げモーメントを正、左側断面で上向きのせん断力を正とする。

L = 5 mP = 15 kN 位置 1 mw = 10 kN/m（0 から 5 m まで）x = 4 m

M_x = kN·m

7.はりのたわみふつう

長さ L の片持ちばりは A で固定され、A から距離 a = 0.5 m の位置に集中荷重 P が作用する。自由端 B のたわみ δ_B を求めよ。

P = 15 kNa = 0.5 mL = 2.5 mE = 11 GPa (構造用木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりに等分布荷重 w とスパン中央の集中荷重 P が作用する。重ね合わせを用いて中央たわみ δ_max を求めよ。

P = 25 kNw = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

アルミニウム製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 2.5 mE = 70 GPa (アルミニウム)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が両端固定である。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

120 mm × 200 mm の板に、鉛直の中心線上に直径 40 mm の円形の穴があり、その中心は下端から 70 mm にあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mm穴の中心: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

150 mm × 300 mm の板に、幅 30 mm、高さ 20 mm の長方形の切り欠きがあり、鉛直の中心線上で、その中心は下端から 210 mm の高さにあります。図心を通る水平軸まわりの断面二次モーメント I_x を求めなさい。

b = 150 mmh = 300 mm切り欠き: 30 × 20 mm穴の中心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 4 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³粘土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 8 m の過圧密粘土層の C_c = 0.2、C_r = 0.06、e₀ = 0.95 である。中央深さでの有効鉛直応力は 60 kPa であり、圧密降伏応力は 180 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 260 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 8 mC_c = 0.2C_r = 0.06e₀ = 0.95σ′₀ = 60 kPaσ′_p = 180 kPaΔσ = 260 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 7.5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 1.5 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。平均圧密度 70% に対する時間係数は T_v = 0.403 である。この層が圧密度 70% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 7.5 mc_v = 1.5 m²/年度U = 70%T_v = 0.403両面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 1000 m、内径 300 mm の水平管内を 1.2 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.2 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 150 m、内径 150 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 20 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 20 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

台形の芝で覆われた土の水路の底幅は 3.5 m、側面勾配は 1:1（水平:鉛直）である。水は水深 2.1 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.03、水路床勾配は S = 0.003 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 3.5 my = 2.1 mz = 1n = 0.03S = 0.003

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

内径 600 mm のコンクリート製下水管（マニングの粗度係数 n = 0.013）は、ちょうど満流で流れるときに 1 m/s の自浄作用流速に達しなければならない。最小勾配 S を（m/m で）求めよ。

D = 600 mmn = 0.013V = 1 m/s

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

ポンプが揚程 54 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 50 L/s 送っている。ポンプ効率は 70%、これを駆動する電動機の効率は 95% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 P_el を kW で求めよ。

Q = 50 L/sH = 54 mη_pump = 70%η_motor = 95%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 で、局所損失係数の合計は ΣK = 2.5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率は 75% である。軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 2.5η = 75%

P_shaft = kW

25.貨幣の時間価値ふつう

クレジットカードの名目年利は 20%、月複利です。実効年利率 EAR をパーセントで求めなさい。

r = 20%m = 12

EAR = %

26.貨幣の時間価値むずかしい

14 年間、毎年初めに €5 000 を預け入れます。最初の預け入れは今日です。口座の利率は年 3% です。14 年目の末に口座にはいくらありますか？FV を求めなさい。

A = €5 000i = 3%n = 14

FV = €

27.NPV と IRRふつう

あるプロジェクトの費用は今日 €50 000 で、5 年間、毎年末に €16 500 を生みます。資本コストは 5% です。キャッシュフローは各年の間に均等に入ると仮定します。割引回収期間 DPB を年で求めなさい。

r = 5%CF₀ = −50 000CF₁ = 16 500CF₂ = 16 500CF₃ = 16 500CF₄ = 16 500CF₅ = 16 500

DPB = 年

28.NPV と IRRむずかしい

あるプロジェクトは €25 000 かかり、1 年目から 3 年目の各年末に €9 000, €10 500, €15 000 を生みます。内部収益率 IRR をパーセントで求めなさい。

CF₀ = −25 000CF₁ = 9 000CF₂ = 10 500CF₃ = 15 000

IRR = %

29.正規分布ふつう

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。53 から 70 点の間にある割合はいくらですか？P を小数で答えなさい。

μ = 65σ = 10x₁ = 53x₂ = 70

P =

30.正規分布むずかしい

試験の得点は、平均 65 点、標準偏差 10 点の正規分布に従います。全体の 5% がそれより下にある値 x（第 5 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 65σ = 10P = 5%

x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 107.1 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。各分布荷重を、荷重図の図心に作用する合力（その面積）に置き換え、支点まわりのモーメントをとってその支点の反力を式から消去します。

A まわりのモーメント

反時計回りを正とします。

ΣM_A = 0: R_B·3.5 = 25·1 + 70·5

R_B = 375/3.5 = 107.1 kN

鉛直方向のつり合い

R_A = 25 + 70 − 107.1 = −12.14 kN

答え

R_B = 107.1 kN

R_A は負です：A のピンははりを下に押さえつけなければなりません。

2.はりの支点反力

答え: R_B = 28.5 kN

分布荷重の合力

W = 3·1 = 3 kN, x̄ = (3 + 4)/2 = 3.5 m

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·3 = 75·1 + 3·3.5

R_B = 85.5/3 = 28.5 kN

R_A = 78 − 28.5 = 49.5 kN

答え

R_B = 28.5 kN

3.トラス：節点法

答え: F_AB = −12.65 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 15·1 → C_y = 3 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 3 = 12 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 3/3.162 = 0.9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −12/0.9487 = −12.65 kN

答え

F_AB = −12.65 kN (圧縮)

4.トラス：節点法

答え: F_AB = −51.61 kN

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·5 − 30·2 → C_y = 35.83 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 35.83 = 19.17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

節点 A

すべての部材が引張（節点から離れる向きに引く）と仮定します。A で鉛直成分をもつのは AB だけです。

sin α = 2/5.385 = 0.3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −19.17/0.3714 = −51.61 kN

答え

F_AB = −51.61 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: C (x = 2 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 46.67 kN, R₂ = 23.33 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 41.67, M_C = 73.33 kN·m, M_D = 65, M_E = 46.67, M_F = 23.33, M_G = 0

答え

点 C: M_C = 73.33 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: M_x = 23 kN·m

断面法：内力を求めたい位置ではりを切断し、片側を残します。せん断力 V はその側の鉛直力と、曲げモーメント M はそれらの切断面まわりのモーメントとつり合います。

支点反力

はり全体のつり合い。

分布荷重の合力：W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN、作用点 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1 + 10·5·2.5

R_B = 140/5 = 28 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 28 = 37 kN

x = 4 m で切断し、左側を残す

切断面より左の力だけを考えます。分布荷重の一部は、その部分の中央に働く 1 つの力として扱います。

M = R_A·x − （切断面より左の各荷重 × 切断面までの距離）

M_x = 37·4 − 15·(4 − 1) − 10·4·2 = 23 kN·m

答え

M_x = 23 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_B = 17.29 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 15000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

自由端のたわみ

荷重位置のたわみに、荷重位置のたわみ角 × 残りの長さを加えます。

δ_P = Pa³/(3EI) = 2.47 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.007411 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 17.29 mm

答え

δ_B = 17.29 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 33.33 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 25000 N, w = 15 N/mm, L = 8000 mm, EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²

各荷重を単独で

δ_P = PL³/(48EI) = 25000·8000³/(48·3.2 × 10¹³) = 8.333 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·8000⁴/(384·3.2 × 10¹³) = 25 mm

足し合わせる

δ_max = 8.333 + 25 = 33.33 mm

答え

δ_max = 33.33 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 69.09 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

長方形は弱軸まわりに座屈するので、小さい方の寸法の 3 乗を使います。

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·2500 = 2500 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2500² = 69087 N = 69.09 kN

答え

P_cr = 69.09 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 34.27 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/6.25 = 240

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34.27 MPa

答え

σ_cr = 34.27 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 78.68 × 10⁶ mm⁴

穴のある断面：穴は負の面積として扱います。図心は ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂) で、A₁、y₁ は穴のない全体の板、A₂、y₂ は穴に対するものです。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分に平行軸の定理を使い、穴の分を引きます：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)。ここで d は各部分自身の図心から ȳ を通る軸までの距離です。長方形は I_c = bh³/12、円は I_c = πd⁴/64 です。

図心

ȳ = (24000·100 − 1257·70)/(24000 − 1257) = 101.7 mm

ȳ まわりの全体の板

120·200³/12 + 24000·−1.658² = 80.07 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

π·40⁴/64 + 1257·−31.66² = 1.385 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 78.68 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 78.68 × 10⁶ mm⁴

12.図心と断面二次モーメント

答え: I_x = 335.3 × 10⁶ mm⁴

図心

ȳ = (45000·150 − 600·210)/(45000 − 600) = 149.2 mm

ȳ まわりの全体の板

150·300³/12 + 45000·0.8108² = 337.5 × 10⁶ mm⁴

ȳ まわりの穴

30·20³/12 + 600·60.81² = 2.239 × 10⁶ mm⁴

引く

I_x = 335.3 × 10⁶ mm⁴

答え

I_x = 335.3 × 10⁶ mm⁴

13.地盤の有効応力

答え: σ′ = 53.38 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·2 + 20.5·2 = 73 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 73 − 19.62 = 53.38 kPa

答え

σ′ = 53.38 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ′ = 91.14 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·2

σ = 15.5·2 + 20.5·4 + 18.5·2 = 150 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 150 − 58.86 = 91.14 kPa

答え

σ′ = 91.14 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 322.5 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 60 + 260 = 320 kPa > 180 kPa

沈下量

σ′_p までは再圧縮、それを超えると正規圧密（処女圧縮）。

S = 0.06·8/(1 + 0.95)·log₁₀(180/60) + 0.2·8/(1 + 0.95)·log₁₀(320/180)

S = 117.4 + 205 = 322.5 mm

答え

S = 322.5 mm

16.圧密沈下

答え: t = 3.778 年

排水距離

H_dr = H/2 = 7.5/2 = 3.75 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·3.75²/1.5 = 3.778 年

答え

t = 3.778 年

17.静水圧

答え: F = 73.58 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

答え

F = 73.58 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 2.8 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·3 = 64.75 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 2.25/(2.5·3) = 2.8 m

答え

y_cp = 2.8 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 43.2 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(1000/0.3)·1.2²/(2·9.81) = 4.404 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·4.404 = 43200 Pa = 43.2 kPa

答え

Δp = 43.2 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 1.613 m

速度

V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

損失係数

f·L/D = 0.02·150/0.15 = 20

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 = 3.7

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 20 + 3.7)·0.06529 = 1.613 m

答え

H = 1.613 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 24.86 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1·2.1)·2.1 = 11.76 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·2.1·√(1 + 1²) = 9.44 m

R = A/P = 1.246 m

速度

V = (1/0.03)·1.246^2/3·0.003^1/2 = 2.114 m/s

流量

Q = A·V = 11.76·2.114 = 24.86 m³/s

答え

Q = 24.86 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.00212 m/m

径深

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

マニングの式を S について解く

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1/0.2823)² = 0.00212

答え

S = 0.00212

これは 1 km あたり 2.12 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_el = 39.83 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·54 = 26.49 kW

軸動力

P_shaft = 26.49/0.7 = 37.84 kW

電力

P_el = 37.84/0.95 = 39.83 kW

答え

P_el = 39.83 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 9.039 kW

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.67 + 2.5)·0.408 = 7.821 m

ポンプ揚程

H = Δz + h_L = 6 + 7.821 = 13.82 m

軸動力

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·13.82/0.75 = 9.039 kW

答え

P_shaft = 9.039 kW

25.貨幣の時間価値

答え: EAR = 21.94 %

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

1 期あたりの利率

r/m = 0.2/12 = 0.01667

1 年分の複利計算

EAR = (1 + 0.01667)¹² − 1 = 1.219 − 1 = 21.94%

答え

EAR = 21.94%

利息が年に複数回複利計算されるとき、EAR は常に名目利率より高くなります。

26.貨幣の時間価値

答え: FV = 87995 €

通常の年金係数

((1 + 0.03)¹⁴ − 1)/0.03 = 17.09

期首払い年金

各預け入れは 1 年長く運用されます。

FV = 5 000·17.09·1.03 = €87 994.57

答え

FV = €87 994.57

27.NPV と IRR

答え: DPB = 3.373 年

回収期間：累積キャッシュフローが初期投資を回収するまでの時間です。現金は各年の間に均等に入ると仮定するので、最後の部分は 1 年の端数になります。単純回収期間は貨幣の時間価値を無視します。割引回収期間では、代わりに割り引いたキャッシュフローを使います。

割引キャッシュフローと累積キャッシュフロー

年度 1: 16 500/1.05 = 15 714.29 → Σ = 15 714.29

年度 2: 16 500/1.103 = 14 965.99 → Σ = 30 680.27

年度 3: 16 500/1.158 = 14 253.32 → Σ = 44 933.59

年度 4: 16 500/1.216 = 13 574.59 → Σ = 58 508.18

最後の年の端数

DPB = 3 + 5 066.41/13 574.59 = 3.373

答え

DPB = 3.373 年

割引回収期間は、常に単純回収期間（3.03 年）より長くなります。

28.NPV と IRR

答え: IRR = 16.38 %

正味現在価値：各キャッシュフローを要求収益率 r で現在まで割り引き、合計します：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 のプロジェクトは r より多く稼ぎ、価値を生みます。内部収益率（IRR）は NPV = 0 となる利率です。

IRR を挟み込む

利率が上がると NPV は下がるので、IRR は NPV が正の利率と負の利率の間にあります。

NPV(15%) = 628.34

NPV(20%) = −1 527.78

絞り込む

線形補間で最初の見積もりが得られます。これを繰り返す（または電卓の IRR 機能を使う）と正確な利率が得られます。

IRR ≈ 15 + 5·628.34/(628.34 − (−1 527.78)) = 16.46%

正確な値: NPV(16.38%) = 0 → IRR = 16.38%

答え

IRR = 16.38%

29.正規分布

答え: P = 0.5764

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

z スコア

z₁ = (53 − 65)/10 = −1.2

z₂ = (70 − 65)/10 = 0.5

間の面積

P = Φ(0.5) − Φ(−1.2) = 0.6915 − 0.1151 = 0.5764

答え

P = 0.5764

30.正規分布

答え: x = 48.55 点

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

x に戻す

x = 65 + −1.645·10 = 48.55 点

答え

x = 48.55 点

これは独自の練習教材です。ExamProblems はこの試験を実施する団体とは提携しておらず、その承認も受けていません。試験名は内容を説明するためにのみ使用しています。 FE examはNCEESが実施する試験です。同団体はExamProblemsと提携しておらず、推奨もしていません。

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil