FE Civil 試験対策：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、30 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

はりの支点反力

つり合い: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
等分布荷重: 合力 w·L は荷重の中央に作用
モーメント: M = F·d

解き方

自由体図を描き、各支点を反力に置き換えます。
分布荷重はそれぞれ、その図心に作用する 1 つの力に置き換えます。
一方の支点まわりのモーメントをとり、もう一方の支点反力を求めます。
ΣF_y = 0 を使って残りの反力を求め、もう 1 つのモーメントの式で確かめます。

トラス：節点法

節点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
切断法: ΣM = 0 about a cut point
部材力: 正 = 引張、負 = 圧縮

解き方

トラス全体の支点反力を求めます。
節点法：未知の部材力が 2 つ以下の節点から始め、ΣF_x = 0 と ΣF_y = 0 を使います。
断面法：求めたい部材を通るように切断し、ほかの未知部材が交わる点まわりのモーメントをとります。
引張と仮定します。答えが負なら圧縮です。

せん断力と曲げモーメント

せん断力と曲げモーメント: V = 片側の ΣF、 M = 片側の ΣF·d
曲げ応力: σ = M·y/I
長方形: I = bh³/12
断面係数: W = I/y_max
単純支持、等分布荷重: M_max = wL²/8

解き方

はり全体のつり合いから支点反力を求めます。
必要な断面ではりを切断し、片側だけを考えます。
せん断力：その側に働く鉛直方向の力の和。曲げモーメント：それらの力の切断面まわりのモーメントの和。
最大曲げモーメントは、せん断力がゼロになる位置を求めて調べます。

はりのたわみ

支間中央の集中荷重: δ = PL³/(48EI)
等分布荷重、単純支持: δ = 5wL⁴/(384EI)
片持ちばり、先端荷重: δ = PL³/(3EI)
片持ちばり、等分布荷重: δ = wL⁴/(8EI)
重ね合わせの理: δ = δ₁ + δ₂

柱の座屈

オイラー座屈荷重: P_cr = π²EI/(KL)²
有効座屈長さ係数: K = 1 ピン–ピン、0.5 固定–固定、0.7 固定–ピン、2 固定–自由
座屈応力: σ_cr = P_cr/A
細長比: λ = KL/r, r = √(I/A)

図心と断面二次モーメント

図心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
長方形: I = bh³/12
平行軸の定理: I = I_c + A·d²
組合せ断面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

地盤の有効応力

全応力: σ = Σγ_i·h_i
間隙水圧: u = γ_w·(z − z_w)
有効応力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最終応力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
過圧密、σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
過圧密比: OCR = σ′_p/σ′₀
圧密時間: t = T_v·H_dr²/c_v
排水距離: H_dr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態: Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失: h_m = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値: 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失: Δp = ρ·g·h_f
2 つの開放貯水槽: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

開水路の流れ（マニング）

マニングの式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
径深: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
長方形: A = b·y, P = b + 2y
台形断面（側面勾配 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
円形管（満流または半満流）: R = D/4
必要な水路勾配: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

ポンプとポンプ動力

水動力: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力: P_shaft = P_h/η_pump
電力: P_el = P_shaft/η_motor
ポンプ揚程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
管路系の損失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

貨幣の時間価値

将来価値: FV = PV·(1 + i)ⁿ
現在価値: PV = FV/(1 + i)ⁿ
年に複数の期間: i = r/m, N = m·n
年金現価: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金終価: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

解き方

すべてのキャッシュフローとその時点を書き込んだタイムラインを描きます。
利率を期間に合わせます：月払いには月利を使います。
一時金には FV = PV·(1 + i)ⁿ を、均等払いには年金の公式を使います。
答えの符号と桁を確認します。

NPV と IRR

正味現在価値: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
均等なキャッシュフロー: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部収益率: NPV = 0 となる r
判断: NPV > 0（または IRR > 要求収益率）なら採用

解き方

すべてのキャッシュフローを年とともに書き出します。0 年目の投資額は負です。
各キャッシュフローを割り引きます：CF_t/(1 + r)^t。
それらを合計すると NPV になります。正なら、そのプロジェクトは r より多く稼ぎます。
IRR は、NPV がゼロになる利率を試行錯誤または補間で求めます。

正規分布

z スコア: z = (x − μ)/σ
x 未満: P(X < x) = Φ(z)
x より大きい: P(X > x) = 1 − Φ(z)
2 つの値の間: Φ(z₂) − Φ(z₁)
パーセンタイル: x = μ + z·σ

解き方

値を z スコアに変換します：z = (x − μ)/σ。
z より左側の面積 Φ(z) を表で調べます。
右側の面積は 1 − Φ(z)、区間の面積は 2 つの左側の面積の差です。
パーセンタイルでは逆にたどります：面積から z を求め、x = μ + z·σ とします。

2演習問題

1.はりの支点反力ふつう

単純ばりは A がピン支点、B がローラー支点である。鉛直支点反力 R_B を求めよ。

L = 10 mP₁ = 30 kN 位置 5 mP₂ = 40 kN 位置 7 m

R_B = kN

2.はりの支点反力むずかしい

片持ちばりは A で壁に固定されている。壁で 0 で自由端 B で 10 kN/m まで直線的に増加する分布荷重と、壁から 7 m の位置の集中荷重 P が作用する。壁における反力モーメント M_A の大きさを求めよ。

L = 10 mw₀ = 10 kN/mP = 10 kN 位置 7 m

M_A = kN·m

3.トラス：節点法ふつう

このトラスの部材のうち、これらの荷重で力を受け持たないのはちょうど 1 つです。ゼロ部材はどれですか？図でそれをクリックしなさい。

D: 40 kN ↓F: 40 kN ↓G: 25 kN ↓H: 30 kN ↓

1部材 AB
2部材 BC
3部材 CD
4部材 DE
5部材 FG
6部材 GH
7部材 AF
8部材 HE
9部材 BF
10部材 CG
11部材 DH
12部材 BG
13部材 DG

4.トラス：節点法むずかしい

節点法を使って部材 BC の軸力 F_BC を求めよ。引張を正、圧縮を負とする。

スパン = 4 m高さ = 2 mB は A から 3 m鉛直荷重 = 30 kN水平荷重 = 15 kN ←

F_BC = kN

5.せん断力と曲げモーメントふつう

点 A から G は、梁を 6 つの等しい部分に分けています。曲げモーメントの大きさが最大になるのは、正曲げでも負曲げでも、どの点ですか？図でそれをクリックしなさい。

25 kN @ 4 m15 kN/m, 4–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.せん断力と曲げモーメントむずかしい

35 kN @ 0 m50 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.はりのたわみふつう

単純ばりの全スパンに等分布荷重 w が作用する。スパン中央の最大たわみ δ_max を求めよ。

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (アルミニウム)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.はりのたわみむずかしい

単純ばりの支点 B から b = 3 m の位置に集中荷重 P が作用する。はりの最大たわみ δ_max を求めよ。

P = 10 kNb = 3 mL = 8 mE = 200 GPa (鋼)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱の座屈ふつう

鋼製の長さ L の柱が両端ピンである。オイラーの式を用いて座屈荷重 P_cr を求めよ。

L = 3 mE = 200 GPa (鋼)d = 80 mm

P_cr = kN

10.柱の座屈むずかしい

鋼製の長さ L の柱が下端固定・上端ピンである。細長比と、オイラーの式による座屈応力 σ_cr を求めよ。

L = 5 mE = 200 GPa (鋼)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.図心と断面二次モーメントふつう

中空長方形（箱形）断面の外幅は B = 240 mm、外高は H = 350 mm、壁厚は一様に t = 20 mm である。水平な図心軸に関する断面二次半径 r を求めよ。

B = 240 mmH = 350 mmt = 20 mm

r = mm

12.図心と断面二次モーメントむずかしい

T 形断面をフランジを上にしてはりとして使い、正の曲げモーメント 10 kN·m を受ける。上端の曲げ応力 σ_上端の大きさを求めよ。

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_上端 = MPa

13.地盤の有効応力ふつう

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

σ = kPa

14.地盤の有効応力むずかしい

図の地盤断面について、点 X の鉛直全応力 σ を求めよ。

z = 5.5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³粘土: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.圧密沈下ふつう

厚さ 2 m の過圧密粘土層の C_c = 0.4、C_r = 0.03、e₀ = 0.85 である。中央深さでの有効鉛直応力は 90 kPa であり、圧密降伏応力は 180 kPa である。新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 30 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 2 mC_c = 0.4C_r = 0.03e₀ = 0.85σ′₀ = 90 kPaσ′_p = 180 kPaΔσ = 30 kPa

S = mm

16.圧密沈下むずかしい

厚さ 5.5 m の粘土層の圧密係数は c_v = 2 m²/年である。不透水性の岩盤の上にあり、上は砂層なので、水は上面からだけ排水される。平均圧密度 70% に対する時間係数は T_v = 0.403 である。この層が圧密度 70% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 5.5 mc_v = 2 m²/年度U = 70%T_v = 0.403片面排水

t = 年

17.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管摩擦と損失水頭ふつう

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 1000 m、内径 150 mm の水平管内を 1 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1 m/sL = 1000 mD = 150 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管摩擦と損失水頭むずかしい

長さ 100 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）である。g = 9.81 m/s² とする。流量 75 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 75 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2

H = m

21.開水路の流れ（マニング）ふつう

長方形の仕上げのないコンクリートの水路の幅は 5.5 m である。水は水深 2.2 m の等流で流れている。マニングの粗度係数 n = 0.014、水路床勾配は S = 0.003 である。流量 Q を m³/s で求めよ。

b = 5.5 my = 2.2 mn = 0.014S = 0.003

Q = m³/s

22.開水路の流れ（マニング）むずかしい

底幅 2 m、側面勾配 1:1（水平:鉛直）の台形の仕上げたコンクリートの水路は、水深 2.5 m の等流で 31 m³/s を流さなければならない。マニングの粗度係数 n = 0.012。必要な水路床勾配 S を（m/m で）求めよ。

Q = 31 m³/sb = 2 my = 2.5 mz = 1n = 0.012

S = m/m

23.ポンプとポンプ動力ふつう

効率 70% のポンプが揚程 52 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 P_shaft を kW で求めよ。

Q = 150 L/sH = 52 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.ポンプとポンプ動力むずかしい

ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 14 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 5（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 100 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 75 L/sΔz = 14 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 5p_tank = 100 kPa

H = m

25.貨幣の時間価値ふつう

名目年利 4.8%、月複利で €20 000 を投資します。6 年後の投資の価値 FV を求めなさい。

PV = €20 0004.8% / 12n = 6

FV = €

26.貨幣の時間価値むずかしい

€15 000 のローンを 6 年間、毎月の元利均等払いで返済します。金利は年 4.8%、月複利です。毎月の返済額 A を求めなさい。

P = €15 0004.8% / 12N = 72

A = €

27.NPV と IRRふつう

ある機械の費用は今日 €60 000、耐用年数は 9 年、運転費は毎年 €1 500（各年末に支払い）です。資本コストは 12% です。等価年間費用 EAC を求めなさい。

C₀ = €60 000M = €1 500n = 9r = 12%

EAC = €

28.NPV と IRRむずかしい

プロジェクト A の費用は €20 000 で、1 年目から 3 年目の各年末に €11 500, €7 000, €4 500 を生みます。プロジェクト B の費用は €25 000 で、€6 500, €9 500, €13 000 を生みます。両方のプロジェクトの NPV が等しくなる交差利率 r* をパーセントで求めなさい。

A: −20 000, 11 500, 7 000, 4 500B: −25 000, 6 500, 9 500, 13 000

r* = %

29.正規分布ふつう

標準正規曲線の下で、−z から z の間の色つき面積が 0.8690 になるように z をドラッグします。z を小数第 2 位まで求めなさい。

A = 0.8690

z =

30.正規分布むずかしい

IQ スコアは、平均 100 点、標準偏差 15 点の正規分布に従います。全体の 90% がそれより下にある値 x（第 90 パーセンタイル）を求めなさい。

μ = 100σ = 15P = 90%

x = 点

3溶液

1.はりの支点反力

答え: R_B = 43 kN

静的つり合い：静止した物体では、任意の点まわりに ΣF_x = 0、ΣF_y = 0、ΣM = 0 が成り立ちます。一方の支点まわりのモーメントをとると、その支点反力が式から消えます。

自由体図

支点を反力に置き換えます。ローラーは鉛直反力を 1 つ与えます。鉛直荷重のみなら、ピンも鉛直反力を 1 つ与えます。

つり合い

A まわりのモーメント（反時計回りを正）。次に鉛直方向の力のつり合い。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·5 + 40·7

R_B = 430/10 = 43 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 43 = 27 kN

答え

R_B = 43 kN

2.はりの支点反力

答え: M_A = 403.3 kN·m

片持ちばりのつり合い：固定支点は上向きに押すことも回転に抵抗することもできるので、鉛直反力 R_A と反力モーメント M_A を与えます。ΣF_y = 0 から R_A が、壁まわりのモーメントから M_A = Σ(荷重 × 壁からの距離) が求まります。分布荷重は、荷重図の図心に作用する合力として働きます。

三角形分布荷重の合力

W = ½·10·10 = 50 kN

x̄ = 2L/3 = 6.667 m

壁まわりのモーメント

M_A = W·x̄ + P·a = 50·6.667 + 10·7 = 403.3 kN·m

答え

M_A = 403.3 kN·m

3.トラス：節点法

答え: 部材 CG

ゼロ部材：節点では、力がどの方向でも釣り合わなければなりません。節点に荷重も支点もなく、3 つの部材のうち 2 つが一直線上にあるなら、その直線に直交する方向の釣り合いには 3 つ目の部材だけが関わるので、その力はゼロです。荷重のない節点に集まる部材が 2 つだけで、それらが一直線上にないなら、両方ともゼロです。

節点 C

BC と CD は一直線上にあり、節点に荷重はありません。その直線に直交する方向で力を釣り合わせると、CG だけが残ります。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

節点法で確認する

すべての節点を解くと、次の部材力が得られます（T = 引張、C = 圧縮）。

AB: 60 kN (T), BC: 80 kN (T), CD: 80 kN (T), DE: 75 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 75 kN (C), AF: 84.85 kN (C), HE: 106.1 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 45 kN (T), BG: 28.28 kN (C), DG: 7.071 kN (C)

答え

ゼロ部材: CG

4.トラス：節点法

答え: F_BC = −16.77 kN

節点法：トラスの各節点はつり合っているので、各節点で ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 が成り立ちます。未知部材力が 2 つ以下の節点から始めます。結果が負なら、その部材は圧縮です。

支点反力

トラス全体のつり合い。A まわりのモーメント（反時計回りを正）。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 − 15·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 15 = 15 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

節点 C

ローラーは鉛直反力しか与えないので、節点 C の未知部材力は 2 つだけです。どちらも引張と仮定します。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0.8944 = −16.77 kN

答え

F_BC = −16.77 kN (圧縮)

5.せん断力と曲げモーメント

答え: D (x = 6 m)

最大曲げモーメント：せん断力が変わるところでは M の傾きが変わるので、そのピークはせん断力がゼロを横切る位置にあります：集中荷重の下、分布荷重の内側、または張り出し梁の支点の上です。片持ち梁の固定端では、モーメントは壁で最大です。それらの位置で M の大きさを、正曲げでも負曲げでも比べます。

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 54.17 kN, R₂ = 60.83 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = 108.3, M_C = 216.7, M_D = 245 kN·m, M_E = 213.3, M_F = 121.7, M_G = 0

答え

点 D: M_D = 245 kN·m

6.せん断力と曲げモーメント

答え: E (x = 8 m)

支点反力

一方の支点まわりのモーメントをとり、次に鉛直方向の力の釣り合いを使います。

R₁ = 13.33 kN, R₂ = 71.67 kN

各点での曲げモーメント

切断面の一方の側にあるすべての力のモーメントを合計します。正曲げ（下に凸）を正、負曲げ（上に凸）を負とします。

M_A = 0, M_B = −70, M_C = −113.3, M_D = −156.7, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

答え

点 E: M_E = −200 kN·m

7.はりのたわみ

答え: δ_max = 5.252 mm

はりのたわみ：たわみは曲率 M/(EI) を 2 回積分して得られます。代表的な場合は表にまとめられており、たとえば先端集中荷重の片持ちばりは PL³/(3EI)、全長等分布荷重の単純ばりは 5wL⁴/(384EI) です。別々の荷重によるたわみは足し合わせられます（重ね合わせ）。

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

たわみ

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 5.252 mm

答え

δ_max = 5.252 mm

8.はりのたわみ

答え: δ_max = 57.72 mm

単位をそろえる

N と mm で計算します：P は N、w は N/mm (kN/m = N/mm)、L は mm、E は N/mm² (GPa × 1000)、I は mm⁴。

P = 10000 N, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

最大たわみの位置

長い方の区間でたわみ角を 0 とおくと位置が求まります。

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3000²)/3) = 4282 mm

最大たわみ

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 57.72 mm

答え

δ_max = 57.72 mm

9.柱の座屈

答え: P_cr = 441 kN

オイラー座屈：細長い柱は P_cr = π²EI/(KL)² で不安定になります。KL は有効座屈長さで、K = 1（ピン–ピン）、2（固定–自由）、0.7（固定–ピン）、0.5（固定–固定）です。柱は I が最小の軸まわりに座屈します。この式は、座屈応力が降伏応力より小さい細長い柱に適用できます。

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

有効座屈長さ

KL = 1·3000 = 3000 mm

座屈荷重

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN

答え

P_cr = 441 kN

10.柱の座屈

答え: σ_cr = 16.11 MPa

最小の断面二次モーメント

円形断面はどの軸まわりでも I が同じです。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

断面二次半径と細長比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/10 = 350

座屈応力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16.11 MPa

答え

σ_cr = 16.11 MPa

11.図心と断面二次モーメント

答え: r = 128.1 mm

断面二次モーメント：長方形では、自身の図心軸まわりで I = bh³/12、底辺まわりで bh³/3 です（平行軸の定理 I = I_c + A·d²）。穴は、両方の部分が同じ軸を共有する限り、その I を引いて扱います。弾性断面係数は S = I/c で、c は最外縁までの距離です。断面二次半径 r = √(I/A) は、全断面積がその距離に集中したとして同じ I を与える距離で、柱の座屈に使われます。

正味の断面積と断面二次モーメント

b = 200 mm, h = 310 mm

A = BH − bh = 240·350 − 200·310 = 22000 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 3.61 × 10⁸ mm⁴

断面二次半径

r = √(I/A) = √(3.61 × 10⁸/22000) = 128.1 mm

答え

r = 128.1 mm

12.図心と断面二次モーメント

答え: σ_上端 = 12.04 MPa

組み合わせ断面：断面を長方形に分けます。図心は面積で重み付けした平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ です。図心軸まわりの断面二次モーメントは、各部分の bh³/12 と平行軸の項 A·d²（d は各部分の図心と全体の図心の距離）の和です。曲げ応力は σ = M·y/I。

2 つの長方形に分ける

y はすべて下端から測ります。

フランジ: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267.5 mm

ウェブ: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

図心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·267.5 + 5200·130)/9100 = 188.9 mm

平行軸の定理

フランジ: 260·15³/12 + 3900·(267.5 − 188.9)² = 2.415 × 10⁷ mm⁴

ウェブ: 20·260³/12 + 5200·(130 − 188.9)² = 4.735 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.415 × 10⁷ + 4.735 × 10⁷ = 7.15 × 10⁷ mm⁴

曲げ応力

上端は軸から h − ȳ の位置にあります。

y = 275 − 188.9 = 86.07 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·86.07/7.15 × 10⁷ = 12.04 MPa

答え

σ_上端 = 12.04 MPa

13.地盤の有効応力

答え: σ = 54 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γ_w·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 19.5·2 = 54 kPa

答え

σ = 54 kPa

14.地盤の有効応力

答え: σ = 98 kPa

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2.5

σ = 15·1 + 19·2 + 18·2.5 = 98 kPa

答え

σ = 98 kPa

15.圧密沈下

答え: S = 4.052 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′_f = σ′₀ + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′_p までは C_r に沿って再圧縮し、それを超えてから C_c に従います。時間：t = T_v·H_dr²/c_v。排水距離 H_dr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′_f = 90 + 30 = 120 kPa ≤ 180 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.03·2/(1 + 0.85)·log₁₀(120/90) = 4.052 mm

答え

S = 4.052 mm

16.圧密沈下

答え: t = 6.095 年

排水距離

H_dr = H = 5.5 m

時間

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·5.5²/2 = 6.095 年

答え

t = 6.095 年

17.静水圧

答え: F = 95.65 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·3 = 95.65 kN

答え

F = 95.65 kN

18.静水圧

答え: y_cp = 2.8 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.5·3 = 75.41 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 2.25/(2.5·3) = 2.8 m

答え

y_cp = 2.8 m

19.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 66.67 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 h_f = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 h_m = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = h_f + h_m（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(1000/0.15)·1²/(2·9.81) = 6.796 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·h_f になります。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·6.796 = 66667 Pa = 66.67 kPa

答え

Δp = 66.67 kPa

20.管摩擦と損失水頭

答え: H = 1.475 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

損失係数

f·L/D = 0.02·100/0.25 = 8

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 8 + 3.4)·0.119 = 1.475 m

答え

H = 1.475 m

21.開水路の流れ（マニング）

答え: Q = 54.12 m³/s

マニングの式（SI 単位）：開水路の等流では V = (1/n)·R^2/3·S^1/2、Q = A·V です。n は粗度係数、S は水路床勾配 (m/m)、R = A/P は径深（流水断面積を潤辺で割ったもの）です。P に数えるのは水に接している境界だけで、水面は含めません。長方形：A = b·y、P = b + 2y。側面勾配 z:1（水平:鉛直）の台形：A = (b + z·y)·y、P = b + 2y·√(1 + z²)。満流または半満流の円形管では R = D/4 です。

断面の形状

A = b·y = 5.5·2.2 = 12.1 m²

P = b + 2y = 5.5 + 2·2.2 = 9.9 m

R = A/P = 1.222 m

速度

V = (1/0.014)·1.222^2/3·0.003^1/2 = 4.472 m/s

流量

Q = A·V = 12.1·4.472 = 54.12 m³/s

答え

Q = 54.12 m³/s

22.開水路の流れ（マニング）

答え: S = 0.0008206 m/m

断面の形状

A = (b + z·y)·y = (2 + 1·2.5)·2.5 = 11.25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2.5·√(1 + 1²) = 9.071 m

R = A/P = 1.24 m

マニングの式を S について解く

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·31/(11.25·1.154) = 0.02865

S = 0.02865² = 0.0008206

答え

S = 0.0008206

これは 1 km あたり 0.8206 m の落差です。

23.ポンプとポンプ動力

答え: P_shaft = 109.3 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：P_shaft = P_h/η_pump。モーターが消費する電力は P_el = P_shaft/η_motor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·52 = 76.52 kW

軸動力

P_shaft = P_h/η = 76.52/0.7 = 109.3 kW

答え

P_shaft = 109.3 kW

24.ポンプとポンプ動力

答え: H = 30 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

損失水頭

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0.2905 = 5.81 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9.81) = 10.19 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 14 + 10.19 + 5.81 = 30 m

答え

H = 30 m

25.貨幣の時間価値

答え: FV = 26660 €

貨幣の時間価値：今日のお金は、利息を生むことができるため、後で受け取る同じ金額より価値があります。1 期あたりの利率 i で、金額は FV = PV·(1 + i)ⁿ のように増えます。等額の支払いの列（年金）は、各支払いを足し合わせて評価し、そこから年金の公式が得られます。

利率と期間数

i = r/m = 0.048/12 = 0.004

N = m·n = 12·6 = 72

将来価値

FV = 20 000·(1 + 0.004)⁷² = 20 000·1.333 = €26 659.83

答え

FV = €26 659.83

26.貨幣の時間価値

答え: A = 240.2 €

月利と返済回数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·6 = 72

返済額

等額 A の支払い N 回の現在価値は A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i です。これを借入額と等しくおいて A を求めます。

(1 + i)^−N = 0.7502

A = 15 000·0.004/(1 − 0.7502) = €240.18

答え

A = €240.18

27.NPV と IRR

答え: EAC = 12761 €

等価年間費用：すべての費用の現在価値を、耐用期間にわたる毎年等しい金額（年金）に分けます：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。耐用年数の異なる機械を比較できます。

年金現価係数

(1 − 1.12⁻⁹)/0.12 = 5.328

年換算した購入価格

60 000/5.328 = 11 260.73

EAC

EAC = 11 260.73 + 1 500 = €12 760.73

答え

EAC = €12 760.73

28.NPV と IRR

答え: r* = 4.28 %

交差利率：2 つのプロジェクトの NPV が等しくなる割引率です。それはキャッシュフローの差（B − A）の IRR です。これより低い利率では、キャッシュフローが遅くて大きいプロジェクトの NPV が高くなり、これより高い利率ではもう一方が勝ちます。

キャッシュフローの差

ΔCF₀ = −25 000 − (−20 000) = −5 000

ΔCF₁ = 6 500 − 11 500 = −5 000

ΔCF₂ = 9 500 − 7 000 = 2 500

ΔCF₃ = 13 000 − 4 500 = 8 500

差の IRR

NPV_Δ(4%) = 60.17

NPV_Δ(5%) = −151.71

r* = 4.28%

答え

r* = 4.28%

確認：4.28% では両方の NPV が €1 433.57 です。

29.正規分布

答え: z = 1.51

面積から z へ戻る：Φ(z) は z の左側の面積です。左側の裾の面積 A なら、表で Φ(z) = A となる z を見つけます。右側の裾の面積 A なら Φ(z) = 1 − A です。−z から z の間の中央の面積 A なら、各裾に (1 − A)/2 が残るので、Φ(z) = (1 + A)/2 です。値 x には x = μ + zσ を使います。

z の左側の面積

Φ(z) = (1 + 0.8690)/2 = 0.9345

z 表を逆に読む

表の中で 0.9345 を見つけ、z を読み取ります。

z = 1.51

答え

z = 1.51

30.正規分布

答え: x = 119.2 点

正規分布：値 x を z スコア z = (x − μ)/σ に変換します。これは平均から標準偏差何個分離れているかを表します。z 表（または Φ(z)）は z より左側の面積、つまり P(X < x) を与えます。右側の面積は 1 − Φ(z)、2 つの値の間の面積はそれぞれの左側の面積の差です。

パーセンタイルに対応する z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

x に戻す

x = 100 + 1.282·15 = 119.22 点

答え

x = 119.22 点

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