流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 0.5 mH = 3 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 4 mH = 1.5 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 100 mm, p1​ = 160 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 160 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 160 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 100 mm, p1​ = 230 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 10 m

水が、100 mm から 75 mm に細くなりながら 10 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 230 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 230 kPav1 = 0.75 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
Q = 4 L/sD = 50 mmL = 50 mf = 0.03

水が、長さ 50 m、内径 50 mm の管内を 4 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

Q = 4 L/sL = 50 mD = 50 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 5Δz = ?L = 150 m, D = 200 mm, f = 0.0182× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 75 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 75 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 25 L/sH = 30 m

効率 65% のポンプが揚程 30 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 25 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 25 L/sH = 30 mη = 65%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
400 kPa (ゲージ圧)PQ = 50 L/sΔz = 14 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0.022, ΣK = 8

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 14 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 400 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 14 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 8ptank = 400 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
ゲートd = 0.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN
2.静水圧

答え: F = 123 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
ゲートd = 4 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·4.75·3 = 123 kN

答え

F = 123 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 152.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(100/50)² = 4 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 160 + (−7.5) = 152.5 kPa

答え

p2 = 152.5 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 131.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(100/75)² = 1.333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 1.333²)/1000 = −0.6076 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 230 + (−0.6076) − 98.1 = 131.3 kPa

答え

p2 = 131.3 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 6.346 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²
V = Q/A = 0.004/0.001963 = 2.037 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 2.037²/(2·9.81) = 0.2115 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(50/0.05)·2.037²/(2·9.81) = 6.346 m

答え

hf = 6.346 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 5.984 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m

損失係数

f·L/D = 0.018·150/0.2 = 13.5
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

全損失水頭

hf = 13.5·0.2905 = 3.922 m
hm = 7.1·0.2905 = 2.062 m
Δz = hf + hm = 5.984 m

答え

Δz = 5.984 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 11.32 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·30 = 7.357 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 7.357/0.65 = 11.32 kW

答え

Pshaft = 11.32 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 57.94 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s
V²/(2g) = 0.1291 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.5 + 8)·0.1291 = 3.163 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 14 + 40.77 + 3.163 = 57.94 m

答え

H = 57.94 m

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