静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
大きな開放水槽から、直径 25 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 6 m 上に保たれ、流量係数は 0.61 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d = 25 mmh = 6 mCd = 0.61g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 40 kPa の圧縮空気がある。水面より 4.5 m 下にある直径 40 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ 噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。
pair = 40 kPa (ゲージ圧)h = 4.5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
v = m/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 150 m、内径 50 mm の管内を平均流速 1.8 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
V = 1.8 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 100 m、内径 150 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 40 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 40 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 72% のポンプが揚程 24 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 50 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 50 L/sH = 24 mη = 72%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 20 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 30 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 72% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 20 L/sΔz = 30 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.022ΣK = 8η = 72%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水圧
答え: F = 294.3 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5·6 = 294.3 kN
答え
F = 294.3 kN
2.静水圧
答え: ycp = 4.188 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4·4.5 = 181 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4 + 3.375/(4·4.5) = 4.188 m
答え
ycp = 4.188 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 3.249 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想的な噴流速度
√(2gh) = √(2·9.81·6) = 10.85 m/s
実際の流量
流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.61·0.0004909·10.85 = 0.003249 m³/s = 3.249 L/s
答え
Q = 3.249 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: v = 12.97 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
水面から噴流へのベルヌーイの式
v = √(2·(40000/1000 + 9.81·4.5)) = 12.97 m/s
答え
v = 12.97 m/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 12.39 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度水頭
V²/(2g) = 1.8²/(2·9.81) = 0.1651 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(150/0.05)·1.8²/(2·9.81) = 12.39 m
答え
hf = 12.39 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: H = 5.763 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
損失係数
f·L/D = 0.022·100/0.15 = 14.67
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 14.67 + 6.4)·0.2611 = 5.763 m
答え
H = 5.763 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 16.35 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·24 = 11.77 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 11.77/0.72 = 16.35 kW
答え
Pshaft = 16.35 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 10.88 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0.3305 = 9.915 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 30 + 9.915 = 39.92 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·39.92/0.72 = 10.88 kW
答え
Pshaft = 10.88 kW
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