流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 3 mH = 2 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 4 mH = 3 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 75 mm, p1​ = 310 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 310 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 310 kPav1 = 3 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 200 mm, p1​ = 280 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 1 m

水が、200 mm から 100 mm に細くなりながら 1 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 280 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 280 kPav1 = 1 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
Q = 75 L/sD = 250 mmL = 150 mf = 0.015

水が、長さ 150 m、内径 250 mm の管内を 75 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

Q = 75 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 5Δz = ?L = 500 m, D = 300 mm, f = 0.0153× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 500 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 120 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 120 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 25 L/sH = 36 m

試験で、ポンプが揚程 36 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 25 L/s 送り、そのとき軸動力は 14.7 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 25 L/sH = 36 mPshaft = 14.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
150 kPa (ゲージ圧)PQ = 120 L/sΔz = 23 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0.018, ΣK = 6

ポンプが 120 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 23 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 150 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 120 L/sΔz = 23 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 6ptank = 150 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 78.48 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
ゲートd = 3 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·2 = 78.48 kN

答え

F = 78.48 kN
2.静水圧

答え: F = 213.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
ゲートd = 4 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·5.5·4.5 = 213.7 kN

答え

F = 213.7 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 291.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(75/50)² = 6.75 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 310 + (−18.28) = 291.7 kPa

答え

p2 = 291.7 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 262.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(200/100)² = 4 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 280 + (−7.5) − 9.81 = 262.7 kPa

答え

p2 = 262.7 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 1.071 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.25²/4 = 0.04909 m²
V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 1.528²/(2·9.81) = 0.119 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(150/0.25)·1.528²/(2·9.81) = 1.071 m

答え

hf = 1.071 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 4.759 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.12/0.07069 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m

損失係数

f·L/D = 0.015·500/0.3 = 25
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

全損失水頭

hf = 25·0.1469 = 3.672 m
hm = 7.4·0.1469 = 1.087 m
Δz = hf + hm = 4.759 m

答え

Δz = 4.759 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: η = 60.06 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·36 = 8.829 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 8.829/14.7 = 60.06%

答え

η = 60.06%
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 42.31 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7.2 + 6)·0.3046 = 4.021 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 23 + 15.29 + 4.021 = 42.31 m

答え

H = 42.31 m

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