静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 390 kPa、流速は 2.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 = 390 kPav1 = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 50 kPa の圧縮空気がある。水面より 4.5 m 下にある直径 25 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ 流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。
pair = 50 kPa (ゲージ圧)h = 4.5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 150 m、内径 100 mm の水平管内を 2.5 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 2.5 m/sL = 150 mD = 100 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 37 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。
Δz = 37 mL = 200 mD = 100 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 78 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送り、そのとき軸動力は 36 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 40 L/sH = 78 mPshaft = 36 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 100 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 600 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 75% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 100 L/sΔz = 7 mL = 600 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 6η = 75%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水圧
答え: F = 78.48 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·4 = 78.48 kN
答え
F = 78.48 kN
2.静水圧
答え: F = 208.6 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2.25·7.5 = 208.6 kN
答え
F = 208.6 kN
3.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 333.3 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 2.75·(100/50)² = 11 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.75² − 11²)/1000 = −56.72 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 390 + (−56.72) = 333.3 kPa
答え
p2 = 333.3 kPa
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 6.736 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
水面から噴流へのベルヌーイの式
v = √(2·(50000/1000 + 9.81·4.5)) = 13.72 m/s
流量
Q = A·v = 0.0004909·13.72 = 0.006736 m³/s = 6.736 L/s
答え
Q = 6.736 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 93.75 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(150/0.1)·2.5²/(2·9.81) = 9.557 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·9.557 = 93750 Pa = 93.75 kPa
答え
Δp = 93.75 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: Q = 34.46 L/s
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失係数
f·L/D = 0.015·200/0.1 = 30
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7
エネルギー式
どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。
37 = (30 + 7.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·37/37.7) = 4.388 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.388·0.007854 = 0.03446 m³/s = 34.46 L/s
答え
Q = 34.46 L/s
7.ポンプとポンプ動力
答え: η = 85.02 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·78 = 30.61 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 30.61/36 = 85.02%
答え
η = 85.02%
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 27.42 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 6)·0.2115 = 13.96 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 7 + 13.96 = 20.96 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.1·20.96/0.75 = 27.42 kW
答え
Pshaft = 27.42 kW
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics