静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 4 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 2.5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
入口径 100 mm、のど部径 50 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 30 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 50 mmp1 − p2 = 30 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水が、75 mm から 25 mm に細くなりながら 2 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 210 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 210 kPav1 = 1.5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 100 m、内径 50 mm の管内を平均流速 1.6 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
V = 1.6 m/sL = 100 mD = 50 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 200 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 200 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
ポンプが揚程 40 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 20 L/s 送っている。ポンプ効率は 80%、これを駆動する電動機の効率は 95% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。
Q = 20 L/sH = 40 mηpump = 80%ηmotor = 95%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 17 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 80 L/sΔz = 17 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8
H = m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 69.9 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.75·1.5 = 69.9 kN
答え
F = 69.9 kN
2.静水圧
答え: F = 29.43 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·1 = 29.43 kN
答え
F = 29.43 kN
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 15.71 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
連続の式
v1 = v2·(50/100)² = 0.25·v2
入口とのど部の間のベルヌーイの式
管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·30000/(1000·(1 − 0.0625))) = 8 m/s
v1 = 2 m/s
流量
Q = A2·v2 = 0.001963·8 = 0.01571 m³/s = 15.71 L/s
答え
Q = 15.71 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: p2 = 100.4 kPa
連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。
連続の式とベルヌーイ
Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。
v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(75/25)² = 13.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 13.5²)/1000 = −90 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 210 + (−90) − 19.62 = 100.4 kPa
答え
p2 = 100.4 kPa
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 7.829 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度水頭
V²/(2g) = 1.6²/(2·9.81) = 0.1305 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(100/0.05)·1.6²/(2·9.81) = 7.829 m
答え
hf = 7.829 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 5.617 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
損失係数
f·L/D = 0.02·100/0.3 = 6.667
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1
全損失水頭
hf = 6.667·0.408 = 2.72 m
hm = 7.1·0.408 = 2.897 m
Δz = hf + hm = 5.617 m
答え
Δz = 5.617 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pel = 10.33 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·40 = 7.848 kW
軸動力
Pshaft = 7.848/0.8 = 9.81 kW
電力
Pel = 9.81/0.95 = 10.33 kW
答え
Pel = 10.33 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 25.59 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 8)·0.3305 = 8.593 m
ポンプ揚程
どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。
H = Δz + hL = 17 + 8.593 = 25.59 m
答え
H = 25.59 m
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