静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
大きな開放水槽から、直径 30 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 6 m 上に保たれ、流量係数は 0.62 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d = 30 mmh = 6 mCd = 0.62g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 75 mm、ゲージ圧は 90 kPa である。ノズル出口の直径は 30 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 75 mmp1 = 90 kPa (ゲージ圧)d2 = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 150 m、内径 75 mm の管内を 4 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 4 L/sL = 150 mD = 75 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
長さ 100 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。
Q = 60 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
ポンプが揚程 22 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送っている。ポンプ効率は 75%、これを駆動する電動機の効率は 88% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。
Q = 40 L/sH = 22 mηpump = 75%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 28 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 500 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 50 L/sΔz = 28 mL = 500 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8
H = m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 68.67 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·2 = 68.67 kN
答え
F = 68.67 kN
2.静水圧
答え: ycp = 1.556 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.5·1.5 = 27.81 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1.5·1³/12 = 0.125 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.5 + 0.125/(1.5·1.5) = 1.556 m
答え
ycp = 1.556 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 4.755 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想的な噴流速度
√(2gh) = √(2·9.81·6) = 10.85 m/s
実際の流量
流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.62·0.0007069·10.85 = 0.004755 m³/s = 4.755 L/s
答え
Q = 4.755 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: H = 9.415 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
出口流速
β = 30/75 = 0.4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0.9744)) = 13.59 m/s
噴流の高さ
噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。
H = v2²/(2g) = 13.59²/(2·9.81) = 9.415 m
答え
H = 9.415 m
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 1.838 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.004/0.004418 = 0.9054 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 0.9054²/(2·9.81) = 0.04178 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(150/0.075)·0.9054²/(2·9.81) = 1.838 m
答え
hf = 1.838 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: H = 1.325 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.06/0.04909 = 1.222 m/s
V²/(2g) = 0.07615 m
損失係数
f·L/D = 0.025·100/0.25 = 10
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4
エネルギー式
出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。
H = (1 + 10 + 6.4)·0.07615 = 1.325 m
答え
H = 1.325 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pel = 13.08 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·22 = 8.633 kW
軸動力
Pshaft = 8.633/0.75 = 11.51 kW
電力
Pel = 11.51/0.88 = 13.08 kW
答え
Pel = 13.08 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 51.67 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0.408 = 23.67 m
ポンプ揚程
どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。
H = Δz + hL = 28 + 23.67 = 51.67 m
答え
H = 51.67 m
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