流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 1 mH = 2.5 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 3 mH = 2.5 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
v = ?p0​pp0​ − p = 35 kPaよどみ点

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 35 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p0 − p = 35 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 100 mm, p1​ = 280 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 5 m

水が、100 mm から 75 mm に細くなりながら 5 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 280 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 280 kPav1 = 2.5 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
Q = 12 L/sD = 75 mmL = 200 mf = 0.02

水が、長さ 200 m、内径 75 mm の管内を 12 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

Q = 12 L/sL = 200 mD = 75 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 2Δz = ?L = 200 m, D = 200 mm, f = 0.022× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 60 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 60 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 20 L/sH = 42 m

ポンプが揚程 42 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 20 L/s 送っている。ポンプ効率は 65%、これを駆動する電動機の効率は 94% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。

Q = 20 L/sH = 42 mηpump = 65%ηmotor = 94%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
300 kPa (ゲージ圧)PQ = 75 L/sΔz = 8 mL = 200 m, D = 200 mm, f = 0.022, ΣK = 6

ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 8 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 300 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 75 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 6ptank = 300 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 82.77 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
ゲートd = 1 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.25·3.75 = 82.77 kN

答え

F = 82.77 kN
2.静水圧

答え: ycp = 4.373 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
ゲートd = 3 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·4.25·2.5 = 91.72 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.25 + 1.302/(4.25·2.5) = 4.373 m

答え

ycp = 4.373 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 8.367 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·35000/1000) = 8.367 m/s

答え

v = 8.367 m/s
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 224.2 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(100/75)² = 4.444 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 4.444²)/1000 = −6.752 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 280 + (−6.752) − 49.05 = 224.2 kPa

答え

p2 = 224.2 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 20.06 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.012/0.004418 = 2.716 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 2.716²/(2·9.81) = 0.376 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(200/0.075)·2.716²/(2·9.81) = 20.06 m

答え

hf = 20.06 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 4.48 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m

損失係数

f·L/D = 0.02·200/0.2 = 20
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

全損失水頭

hf = 20·0.1859 = 3.718 m
hm = 4.1·0.1859 = 0.7622 m
Δz = hf + hm = 4.48 m

答え

Δz = 4.48 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pel = 13.49 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·42 = 8.24 kW

軸動力

Pshaft = 8.24/0.65 = 12.68 kW

電力

Pel = 12.68/0.94 = 13.49 kW

答え

Pel = 13.49 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 46.71 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 6)·0.2905 = 8.134 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 30.58 + 8.134 = 46.71 m

答え

H = 46.71 m

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