静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 0.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
入口径 100 mm、のど部径 60 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 36 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。
d1 = 100 mmd2 = 60 mmp1 − p2 = 36 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 170 kPa の圧縮空気がある。水面より 4 m 下にある直径 50 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ 流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。
pair = 170 kPa (ゲージ圧)h = 4 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 300 m、内径 150 mm の水平管内を 0.9 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。
V = 0.9 m/sL = 300 mD = 150 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 400 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 37 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。
Δz = 37 mL = 400 mD = 300 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 72% のポンプが揚程 62 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 150 L/sH = 62 mη = 72%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 80 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 6 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 82% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 80 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 4η = 82%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水圧
答え: F = 36.79 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·3 = 36.79 kN
答え
F = 36.79 kN
2.静水圧
答え: ycp = 2.375 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2·6 = 148.3 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 4.5/(2·6) = 2.375 m
答え
ycp = 2.375 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 25.72 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
連続の式
v1 = v2·(60/100)² = 0.36·v2
入口とのど部の間のベルヌーイの式
管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·36000/(1000·(1 − 0.1296))) = 9.095 m/s
v1 = 3.274 m/s
流量
Q = A2·v2 = 0.002827·9.095 = 0.02572 m³/s = 25.72 L/s
答え
Q = 25.72 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 40.17 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
水面から噴流へのベルヌーイの式
v = √(2·(170000/1000 + 9.81·4)) = 20.46 m/s
流量
Q = A·v = 0.001963·20.46 = 0.04017 m³/s = 40.17 L/s
答え
Q = 40.17 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: Δp = 17.82 kPa
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失水頭
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(300/0.15)·0.9²/(2·9.81) = 1.817 m
圧力損失
管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·1.817 = 17820 Pa = 17.82 kPa
答え
Δp = 17.82 kPa
6.管摩擦と損失水頭
答え: Q = 317 L/s
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
損失係数
f·L/D = 0.018·400/0.3 = 24
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1
エネルギー式
どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。
37 = (24 + 12.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·37/36.1) = 4.484 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 4.484·0.07069 = 0.317 m³/s = 317 L/s
答え
Q = 317 L/s
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 126.7 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·62 = 91.23 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 91.23/0.72 = 126.7 kW
答え
Pshaft = 126.7 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 7.971 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s
V²/(2g) = 0.1354 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13.2 + 4)·0.1354 = 2.328 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 6 + 2.328 = 8.328 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·8.328/0.82 = 7.971 kW
答え
Pshaft = 7.971 kW
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