流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 4 mH = 1 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 2.5 mH = 2.5 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
d1​ = 250 mmd2​ = 125 mm12p1​ − p2​ = 31 kPaQ = ?

入口径 250 mm、のど部径 125 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 31 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d1 = 250 mmd2 = 125 mmp1 − p2 = 31 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 75 mm, p1​ = 330 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 8 m

水が、75 mm から 50 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 330 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 330 kPav1 = 1.25 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 1.3 m/sD = 50 mmL = 400 mf = 0.03

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 400 m、内径 50 mm の水平管内を 1.3 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.3 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 10自由放出口H = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0.0153× 曲がり (K = 0.3)

長さ 150 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 150 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 150 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 10
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 10 L/sH = 44 m

効率 78% のポンプが揚程 44 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 10 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 10 L/sH = 44 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 40 L/sΔz = 35 mL = 150 m, D = 150 mm, f = 0.015, ΣK = 8

ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 35 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 150 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 40 L/sΔz = 35 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 66.22 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²
ゲートd = 4 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·1.5 = 66.22 kN

答え

F = 66.22 kN
2.静水圧

答え: ycp = 3.889 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²
ゲートd = 2.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.75·2.5 = 94.27 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.75 + 1.302/(3.75·2.5) = 3.889 m

答え

ycp = 3.889 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 99.8 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v1 = v2·(125/250)² = 0.25·v2

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·31000/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.132 m/s
v1 = 2.033 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.01227·8.132 = 0.0998 m³/s = 99.8 L/s

答え

Q = 99.8 L/s
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 248.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.25·(75/50)² = 2.813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.25² − 2.813²)/1000 = −3.174 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 330 + (−3.174) − 78.48 = 248.3 kPa

答え

p2 = 248.3 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 202.8 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(400/0.05)·1.3²/(2·9.81) = 20.67 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·20.67 = 202800 Pa = 202.8 kPa

答え

Δp = 202.8 kPa
6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 10.18 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s
V²/(2g) = 0.4759 m

損失係数

f·L/D = 0.015·150/0.25 = 9
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 = 11.4

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 9 + 11.4)·0.4759 = 10.18 m

答え

H = 10.18 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 5.534 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·44 = 4.316 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 4.316/0.78 = 5.534 kW

答え

Pshaft = 5.534 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 41.01 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0.2611 = 6.006 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + hL = 35 + 6.006 = 41.01 m

答え

H = 41.01 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics