静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
入口径 150 mm、のど部径 75 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 40 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 40 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
内径 25 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 3 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 2 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 点 C での絶対圧力 pC を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。
d = 25 mmzC = +3 mz2 = −2 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 50 m、内径 150 mm の管内を 30 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 30 L/sL = 50 mD = 150 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 0.2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 120 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 120 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 0.2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
効率 82% のポンプが揚程 18 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 15 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 15 L/sH = 18 mη = 82%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 10 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 150 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。
Q = 40 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 8ptank = 150 kPa
H = m
3溶液
1.静水圧
答え: F = 202.3 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·7.5 = 202.3 kN
答え
F = 202.3 kN
2.静水圧
答え: ycp = 2.167 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2·2 = 40.22 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0.6667/(2·2) = 2.167 m
答え
ycp = 2.167 m
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 40.81 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
連続の式
v1 = v2·(75/150)² = 0.25·v2
入口とのど部の間のベルヌーイの式
管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·40000/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.238 m/s
v1 = 2.309 m/s
流量
Q = A2·v2 = 0.004418·9.238 = 0.04081 m³/s = 40.81 L/s
答え
Q = 40.81 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: pC = 52.25 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
ホース内の流速
水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。
v = √(2g·2) = √(2·9.81·2) = 6.264 m/s
水面から C へのベルヌーイの式
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(6.264²/2 + 9.81·3)/1000 = 101.3 − 49.05 = 52.25 kPa
答え
pC = 52.25 kPa
この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 0.7345 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²
V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 1.698²/(2·9.81) = 0.1469 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(50/0.15)·1.698²/(2·9.81) = 0.7345 m
答え
hf = 0.7345 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 4.356 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m
損失係数
f·L/D = 0.02·150/0.25 = 12
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3
全損失水頭
hf = 12·0.3046 = 3.655 m
hm = 2.3·0.3046 = 0.7006 m
Δz = hf + hm = 4.356 m
答え
Δz = 4.356 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 3.23 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.015·18 = 2.649 kW
軸動力
Pshaft = Ph/η = 2.649/0.82 = 3.23 kW
答え
Pshaft = 3.23 kW
8.ポンプとポンプ動力
答え: H = 34.34 m
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26.67 + 8)·0.2611 = 9.053 m
圧力水頭
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m
ポンプ揚程
どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 10 + 15.29 + 9.053 = 34.34 m
答え
H = 34.34 m
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