流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 0.5 mH = 3 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 4 mH = 1.5 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
Q = ?d = 40 mm, Cd​ = 0.63h = 1.5 m

大きな開放水槽から、直径 40 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 1.5 m 上に保たれ、流量係数は 0.63 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 40 mmh = 1.5 mCd = 0.63g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 75 mm, p1​ = 180 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 4 m

水が、75 mm から 40 mm に細くなりながら 4 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 180 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 180 kPav1 = 2.5 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 2.5 m/sD = 200 mmL = 400 mf = 0.022

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 400 m、内径 200 mm の水平管内を 2.5 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2.5 m/sL = 400 mD = 200 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 5自由放出口H = ?L = 500 m, D = 250 mm, f = 0.0152× 曲がり (K = 0.3)

長さ 500 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 100 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 100 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 5
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 60 L/sH = 54 m

効率 75% のポンプが揚程 54 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 60 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 60 L/sH = 54 mη = 75%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 50 L/sΔz = 5 mL = 600 m, D = 150 mm, f = 0.025, ΣK = 6

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 600 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 75% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 600 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 6η = 75%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水圧

答え: F = 88.29 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
ゲートd = 0.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·4.5 = 88.29 kN

答え

F = 88.29 kN
2.静水圧

答え: F = 88.07 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
ゲートd = 4 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4.75·1.5 = 88.07 kN

答え

F = 88.07 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 4.295 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·1.5) = 5.425 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = Cd·A·√(2gh) = 0.63·0.001257·5.425 = 0.004295 m³/s = 4.295 L/s

答え

Q = 4.295 L/s
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 105.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(75/40)² = 8.789 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 8.789²)/1000 = −35.5 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 180 + (−35.5) − 39.24 = 105.3 kPa

答え

p2 = 105.3 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 137.5 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(400/0.2)·2.5²/(2·9.81) = 14.02 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·14.02 = 137500 Pa = 137.5 kPa

答え

Δp = 137.5 kPa
6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 7.848 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m

損失係数

f·L/D = 0.015·500/0.25 = 30
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 30 + 6.1)·0.2115 = 7.848 m

答え

H = 7.848 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 42.38 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.06·54 = 31.78 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 31.78/0.75 = 42.38 kW

答え

Pshaft = 42.38 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 31.56 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (100 + 6)·0.408 = 43.25 m

ポンプ揚程

H = Δz + hL = 5 + 43.25 = 48.25 m

軸動力

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·48.25/0.75 = 31.56 kW

答え

Pshaft = 31.56 kW

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