流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

新しい問題科目に戻る

印刷ウィンドウで「PDF として保存」を選ぶと、コピーを端末に保存できます。

1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 2 mH = 1 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 3 mH = 2 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 200 mm, p1​ = 400 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

水が、200 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 400 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 400 kPav1 = 1 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 100 mm, p1​ = 280 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 8 m

水が、100 mm から 75 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 280 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 280 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
Q = 15 L/sD = 150 mmL = 150 mf = 0.015

水が、長さ 150 m、内径 150 mm の管内を 15 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

Q = 15 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 5Δz = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0.024× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 150 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 150 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 100 L/sH = 28 m

ポンプが揚程 28 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送っている。ポンプ効率は 82%、これを駆動する電動機の効率は 92% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。

Q = 100 L/sH = 28 mηpump = 82%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
300 kPa (ゲージ圧)PQ = 50 L/sΔz = 5 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0.015, ΣK = 8

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 300 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8ptank = 300 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 24.52 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
ゲートd = 2 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·1 = 24.52 kN

答え

F = 24.52 kN
2.静水圧

答え: F = 117.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
ゲートd = 3 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

答え

F = 117.7 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 375.2 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(200/75)² = 7.111 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 7.111²)/1000 = −24.78 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 400 + (−24.78) = 375.2 kPa

答え

p2 = 375.2 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 201.2 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(100/75)² = 0.8889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 0.8889²)/1000 = −0.2701 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 280 + (−0.2701) − 78.48 = 201.2 kPa

答え

p2 = 201.2 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 0.5508 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²
V = Q/A = 0.015/0.01767 = 0.8488 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 0.8488²/(2·9.81) = 0.03672 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(150/0.15)·0.8488²/(2·9.81) = 0.5508 m

答え

hf = 0.5508 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 9.376 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s
V²/(2g) = 0.4759 m

損失係数

f·L/D = 0.02·150/0.25 = 12
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

全損失水頭

hf = 12·0.4759 = 5.711 m
hm = 7.7·0.4759 = 3.665 m
Δz = hf + hm = 9.376 m

答え

Δz = 9.376 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pel = 36.41 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·28 = 27.47 kW

軸動力

Pshaft = 27.47/0.82 = 33.5 kW

電力

Pel = 33.5/0.92 = 36.41 kW

答え

Pel = 36.41 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 47.01 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0.408 = 11.42 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 30.58 + 11.42 = 47.01 m

答え

H = 47.01 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics