流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 3 mH = 2 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 1 mH = 2.5 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 200 mm, p1​ = 210 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

水が、200 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 210 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 210 kPav1 = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 150 mm, p1​ = 200 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 8 m

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 200 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 200 kPav1 = 0.5 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 2.7 m/sD = 75 mmL = 400 mf = 0.022

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 400 m、内径 75 mm の水平管内を 2.7 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 2.7 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 5Δz = 15 mL = 100 m, D = 100 mm, f = 0.0154× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 15 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 15 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 100 L/sH = 44 m

試験で、ポンプが揚程 44 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送り、そのとき軸動力は 57.6 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 100 L/sH = 44 mPshaft = 57.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
400 kPa (ゲージ圧)PQ = 40 L/sΔz = 26 mL = 300 m, D = 150 mm, f = 0.015, ΣK = 8

ポンプが 40 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 26 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 400 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 40 L/sΔz = 26 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8ptank = 400 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 157 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
ゲートd = 3 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·4 = 157 kN

答え

F = 157 kN
2.静水圧

答え: ycp = 2.481 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
ゲートd = 1 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2.25·3.75 = 104.3 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.25 + 1.953/(2.25·3.75) = 2.481 m

答え

ycp = 2.481 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 196.1 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.75·(200/75)² = 5.333 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.75² − 5.333²)/1000 = −13.94 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 210 + (−13.94) = 196.1 kPa

答え

p2 = 196.1 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 119.6 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(150/75)² = 2 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 200 + (−1.875) − 78.48 = 119.6 kPa

答え

p2 = 119.6 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 427.7 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(400/0.075)·2.7²/(2·9.81) = 43.6 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·43.6 = 427680 Pa = 427.7 kPa

答え

Δp = 427.7 kPa
6.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 28.28 L/s

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失係数

f·L/D = 0.015·100/0.1 = 15
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

15 = (15 + 7.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·15/22.7) = 3.601 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.601·0.007854 = 0.02828 m³/s = 28.28 L/s

答え

Q = 28.28 L/s
7.ポンプとポンプ動力

答え: η = 74.94 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·44 = 43.16 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 43.16/57.6 = 74.94%

答え

η = 74.94%
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 76.7 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0.2611 = 9.923 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 26 + 40.77 + 9.923 = 76.7 m

答え

H = 76.7 m

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