流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 2.5 mH = 3 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 4 mH = 2 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
d1​ = 300 mmd2​ = 150 mm12p1​ − p2​ = 5 kPaQ = ?

入口径 300 mm、のど部径 150 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 5 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d1 = 300 mmd2 = 150 mmp1 − p2 = 5 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 75 mm, p1​ = 280 kPad2​ = 40 mm, p2​ = ?Δz = 9 m

水が、75 mm から 40 mm に細くなりながら 9 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 280 kPa、流速は 1.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 75 mmd2 = 40 mmp1 = 280 kPav1 = 1.75 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 2.9 m/sD = 300 mmL = 800 mf = 0.03

水が、長さ 800 m、内径 300 mm の管内を平均流速 2.9 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

V = 2.9 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 2Δz = 20 mL = 200 m, D = 150 mm, f = 0.023× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 20 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 20 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 150 L/sH = 40 m

試験で、ポンプが揚程 40 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送り、そのとき軸動力は 73.6 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 150 L/sH = 40 mPshaft = 73.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 20 L/sΔz = 10 mL = 200 m, D = 100 mm, f = 0.015, ΣK = 6

ポンプが 20 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 10 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 200 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 82% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 20 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 100 mmf = 0.015ΣK = 6η = 82%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水圧

答え: F = 353.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
ゲートd = 2.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·9 = 353.2 kN

答え

F = 353.2 kN
2.静水圧

答え: F = 100.6 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
ゲートd = 4 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·5·2 = 100.6 kN

答え

F = 100.6 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 57.71 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v1 = v2·(150/300)² = 0.25·v2

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·5000/(1000·(1 − 0.0625))) = 3.266 m/s
v1 = 0.8165 m/s

流量

Q = A2·v2 = 0.01767·3.266 = 0.05771 m³/s = 57.71 L/s

答え

Q = 57.71 L/s
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 174.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.75·(75/40)² = 6.152 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.75² − 6.152²)/1000 = −17.39 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 280 + (−17.39) − 88.29 = 174.3 kPa

答え

p2 = 174.3 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 34.29 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 2.9²/(2·9.81) = 0.4286 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(800/0.3)·2.9²/(2·9.81) = 34.29 m

答え

hf = 34.29 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 62.8 L/s

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失係数

f·L/D = 0.02·200/0.15 = 26.67
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

20 = (26.67 + 4.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·20/31.07) = 3.554 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.554·0.01767 = 0.0628 m³/s = 62.8 L/s

答え

Q = 62.8 L/s
7.ポンプとポンプ動力

答え: η = 79.97 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·40 = 58.86 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 58.86/73.6 = 79.97%

答え

η = 79.97%
8.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 5.24 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0.3305 = 11.9 m

ポンプ揚程

H = Δz + hL = 10 + 11.9 = 21.9 m

軸動力

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·21.9/0.82 = 5.24 kW

答え

Pshaft = 5.24 kW

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