流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 3 mH = 2 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 0.5 mH = 3 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 0.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
Q = ?d = 20 mm, Cd​ = 0.62h = 4.5 m

大きな開放水槽から、直径 20 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 4.5 m 上に保たれ、流量係数は 0.62 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 20 mmh = 4.5 mCd = 0.62g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 150 mm, p1​ = 150 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 4 m

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 4 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 150 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 150 kPav1 = 2 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
Q = 40 L/sD = 300 mmL = 300 mf = 0.015

水が、長さ 300 m、内径 300 mm の管内を 40 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

Q = 40 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 10自由放出口H = ?L = 400 m, D = 300 mm, f = 0.024× 曲がり (K = 0.3)

長さ 400 m、内径 300 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 10） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 150 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 150 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 10
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 150 L/sH = 58 m

ポンプが揚程 58 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送っている。ポンプ効率は 60%、これを駆動する電動機の効率は 88% である。g = 9.81 m/s² とする。電動機が消費する電力 Pel を kW で求めよ。

Q = 150 L/sH = 58 mηpump = 60%ηmotor = 88%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
200 kPa (ゲージ圧)PQ = 60 L/sΔz = 7 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0.02, ΣK = 6

ポンプが 60 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 7 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 200 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 60 L/sΔz = 7 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 6ptank = 200 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 117.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
ゲートd = 3 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

答え

F = 117.7 kN
2.静水圧

答え: ycp = 2.375 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
ゲートd = 0.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·9 = 176.6 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 6.75/(2·9) = 2.375 m

答え

ycp = 2.375 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 1.83 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = Cd·A·√(2gh) = 0.62·0.0003142·9.396 = 0.00183 m³/s = 1.83 L/s

答え

Q = 1.83 L/s
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 80.76 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2·(150/75)² = 8 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 150 + (−30) − 39.24 = 80.76 kPa

答え

p2 = 80.76 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 0.2448 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²
V = Q/A = 0.04/0.07069 = 0.5659 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 0.5659²/(2·9.81) = 0.01632 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(300/0.3)·0.5659²/(2·9.81) = 0.2448 m

答え

hf = 0.2448 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 9.035 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s
V²/(2g) = 0.2295 m

損失係数

f·L/D = 0.02·400/0.3 = 26.67
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 = 11.7

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 26.67 + 11.7)·0.2295 = 9.035 m

答え

H = 9.035 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pel = 161.6 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·58 = 85.35 kW

軸動力

Pshaft = 85.35/0.6 = 142.2 kW

電力

Pel = 142.2/0.88 = 161.6 kW

答え

Pel = 161.6 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 34.08 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 6)·0.1859 = 6.693 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 20.39 + 6.693 = 34.08 m

答え

H = 34.08 m

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