流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 4 mH = 1 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 0.5 mH = 2.5 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
v = ?p0​pp0​ − p = 10 kPaよどみ点

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 10 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p0 − p = 10 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 150 mm, p1​ = 260 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 10 m

水が、150 mm から 100 mm に細くなりながら 10 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 260 kPa、流速は 1.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 260 kPav1 = 1.75 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
Q = 15 L/sD = 75 mmL = 50 mf = 0.022

水が、長さ 50 m、内径 75 mm の管内を 15 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

Q = 15 L/sL = 50 mD = 75 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 5自由放出口H = ?L = 300 m, D = 250 mm, f = 0.0183× 曲がり (K = 0.3)

長さ 300 m、内径 250 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 150 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 150 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 25 L/sH = 34 m

試験で、ポンプが揚程 34 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 25 L/s 送り、そのとき軸動力は 11.6 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 25 L/sH = 34 mPshaft = 11.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 100 L/sΔz = 5 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0.02, ΣK = 4

ポンプが 100 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 4
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 88.29 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
ゲートd = 4 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·2 = 88.29 kN

答え

F = 88.29 kN
2.静水圧

答え: F = 108.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
ゲートd = 0.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.75·5 = 108.2 kN

答え

F = 108.2 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 4.472 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·10000/1000) = 4.472 m/s

答え

v = 4.472 m/s
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 155.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.75·(150/100)² = 3.938 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.75² − 3.938²)/1000 = −6.221 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 260 + (−6.221) − 98.1 = 155.7 kPa

答え

p2 = 155.7 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 8.618 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

平均流速

A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.015/0.004418 = 3.395 m/s

速度水頭

V²/(2g) = 3.395²/(2·9.81) = 0.5876 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(50/0.075)·3.395²/(2·9.81) = 8.618 m

答え

hf = 8.618 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 13.8 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s
V²/(2g) = 0.4759 m

損失係数

f·L/D = 0.018·300/0.25 = 21.6
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 21.6 + 6.4)·0.4759 = 13.8 m

答え

H = 13.8 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: η = 71.88 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·34 = 8.338 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 8.338/11.6 = 71.88%

答え

η = 71.88%
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 7.538 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (8 + 4)·0.2115 = 2.538 m

ポンプ揚程

どちらの水面も開放されていてほぼ静止しているので、圧力と速度の項は消えます。

H = Δz + hL = 5 + 2.538 = 7.538 m

答え

H = 7.538 m

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