流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 2 mH = 1.5 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 1.5 mH = 3 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 1.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 150 mm, p1​ = 160 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

水が、150 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 160 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 = 160 kPav1 = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
C212 m4.5 md = 50 mmpC​ = ?

内径 50 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 2 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 4.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 点 C での絶対圧力 pC を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 50 mmzC = +2 mz2 = −4.5 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 3 m/sD = 200 mmL = 400 mf = 0.03

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 400 m、内径 200 mm の水平管内を 3 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 3 m/sL = 400 mD = 200 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 5Δz = ?L = 200 m, D = 150 mm, f = 0.0183× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 25 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 25 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 150 L/sH = 54 m

試験で、ポンプが揚程 54 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 150 L/s 送り、そのとき軸動力は 105.9 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 150 L/sH = 54 mPshaft = 105.9 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
PQ = 75 L/sΔz = 16 mL = 300 m, D = 200 mm, f = 0.018, ΣK = 6

ポンプが 75 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 16 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 200 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 75% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 75 L/sΔz = 16 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 6η = 75%
Pshaft = kW

3溶液

1.静水圧

答え: F = 40.47 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
ゲートd = 2 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.75·1.5 = 40.47 kN

答え

F = 40.47 kN
2.静水圧

答え: ycp = 3.25 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
ゲートd = 1.5 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3·6 = 155.4 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 4.5/(3·6) = 3.25 m

答え

ycp = 3.25 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 148.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.25·(150/75)² = 5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.25² − 5²)/1000 = −11.72 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 160 + (−11.72) = 148.3 kPa

答え

p2 = 148.3 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: pC = 37.53 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·4.5) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(9.396²/2 + 9.81·2)/1000 = 101.3 − 63.77 = 37.53 kPa

答え

pC = 37.53 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 270 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(400/0.2)·3²/(2·9.81) = 27.52 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·27.52 = 270000 Pa = 270 kPa

答え

Δp = 270 kPa
6.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 3.203 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s
V²/(2g) = 0.102 m

損失係数

f·L/D = 0.018·200/0.15 = 24
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

全損失水頭

hf = 24·0.102 = 2.448 m
hm = 7.4·0.102 = 0.7549 m
Δz = hf + hm = 3.203 m

答え

Δz = 3.203 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: η = 75.03 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·54 = 79.46 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 79.46/105.9 = 75.03%

答え

η = 75.03%
8.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 25.1 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s
V²/(2g) = 0.2905 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 6)·0.2905 = 9.586 m

ポンプ揚程

H = Δz + hL = 16 + 9.586 = 25.59 m

軸動力

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·25.59/0.75 = 25.1 kW

答え

Pshaft = 25.1 kW

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