静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
流体力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
連続の式とベルヌーイ
- 連続の式
- A1v1 = A2v2
- ベルヌーイの定理
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- 流量
- Q = A·v
- 円の面積
- A = πd²/4
管摩擦と損失水頭
- レイノルズ数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流れの状態
- Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- ダルシー・ワイスバッハの式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局所損失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 代表的な K の値
- 入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
- 圧力損失
- Δp = ρ·g·hf
- 2 つの開放貯水槽
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由放出
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
ポンプとポンプ動力
- 水動力
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 軸動力
- Pshaft = Ph/ηpump
- 電力
- Pel = Pshaft/ηmotor
- ポンプ揚程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 管路系の損失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2演習問題
1.静水圧ふつう
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 1.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
大きな開放水槽から、直径 20 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 4 m 上に保たれ、流量係数は 0.6 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。
d = 20 mmh = 4 mCd = 0.6g = 9.81 m/s²
Q = L/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
水平なベンチュリ管（入口 250 mm、のど部 125 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 370 mm である。流量係数は 0.98 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。
d1 = 250 mmd2 = 125 mmΔh = 370 mmCd = 0.98ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
水が、長さ 200 m、内径 75 mm の管内を 4 L/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。
Q = 4 L/sL = 200 mD = 75 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
2 つの開放貯水槽が、長さ 200 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 75 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。
Q = 75 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
試験で、ポンプが揚程 66 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 100 L/s 送り、そのとき軸動力は 107.9 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。
Q = 100 L/sH = 66 mPshaft = 107.9 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
ポンプが 30 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 10 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 300 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 ポンプ効率は 75% である。軸動力 Pshaft を kW で求めよ。
Q = 30 L/sΔz = 10 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 8η = 75%
Pshaft = kW
3溶液
1.静水圧
答え: F = 25.75 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.75·1.5 = 25.75 kN
答え
F = 25.75 kN
2.静水圧
答え: F = 77.7 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3·3 = 77.7 kN
答え
F = 77.7 kN
3.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 1.67 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
理想的な噴流速度
√(2gh) = √(2·9.81·4) = 8.859 m/s
実際の流量
流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。
Q = Cd·A·√(2gh) = 0.6·0.0003142·8.859 = 0.00167 m³/s = 1.67 L/s
答え
Q = 1.67 L/s
4.連続の式とベルヌーイ
答え: Q = 118.8 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
マノメータによる圧力差
Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.37 = 45734 Pa
のど部の流速
連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。
β = 125/250 = 0.5
v2 = √(2·45734/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.878 m/s
実際の流量
Q = Cd·A2·v2 = 0.98·0.01227·9.878 = 0.1188 m³/s = 118.8 L/s
答え
Q = 118.8 L/s
5.管摩擦と損失水頭
答え: hf = 2.451 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
平均流速
A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.004/0.004418 = 0.9054 m/s
速度水頭
V²/(2g) = 0.9054²/(2·9.81) = 0.04178 m
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(200/0.075)·0.9054²/(2·9.81) = 2.451 m
答え
hf = 2.451 m
6.管摩擦と損失水頭
答え: Δz = 1.13 m
管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。
速度
V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s
V²/(2g) = 0.05738 m
損失係数
f·L/D = 0.018·200/0.3 = 12
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7
全損失水頭
hf = 12·0.05738 = 0.6886 m
hm = 7.7·0.05738 = 0.4418 m
Δz = hf + hm = 1.13 m
答え
Δz = 1.13 m
7.ポンプとポンプ動力
答え: η = 60.01 %
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
水動力
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·66 = 64.75 kW
効率
η = Ph/Pshaft = 64.75/107.9 = 60.01%
答え
η = 60.01%
8.ポンプとポンプ動力
答え: Pshaft = 6.46 kW
ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。
速度
V = Q/A = 0.03/0.01767 = 1.698 m/s
V²/(2g) = 0.1469 m
損失水頭
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0.1469 = 6.463 m
ポンプ揚程
H = Δz + hL = 10 + 6.463 = 16.46 m
軸動力
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.03·16.46/0.75 = 6.46 kW
答え
Pshaft = 6.46 kW
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