流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 2.5 mH = 2 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 1 mH = 2 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 75 mm, p1​ = 100 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?

水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 100 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 100 kPav1 = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
d1​ = 150 mmd2​ = 75 mm12Δh = 310 mm水銀Q = ?

水平なベンチュリ管（入口 150 mm、のど部 75 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 310 mm である。流量係数は 0.96 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。

d1 = 150 mmd2 = 75 mmΔh = 310 mmCd = 0.96ρHg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²
Q = L/s
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 1.4 m/sD = 300 mmL = 1000 mf = 0.022

水（ρ = 1000 kg/m³）が、長さ 1000 m、内径 300 mm の水平管内を 1.4 m/s で流れている。ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022、g = 9.81 m/s² とする。管での圧力損失 Δp を kPa で求めよ。

V = 1.4 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0.022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 5自由放出口H = ?L = 200 m, D = 100 mm, f = 0.0154× 曲がり (K = 0.3)

長さ 200 m、内径 100 mm（ダルシーの管摩擦係数 f = 0.015）の管が開放貯水槽から出て、自由噴流として大気中に放出している。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 5） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 25 L/s を得るには、貯水槽の水面を管の出口より何 m H 高くしなければならないか。

Q = 25 L/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5
H = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 25 L/sH = 66 m

試験で、ポンプが揚程 66 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 25 L/s 送り、そのとき軸動力は 19.7 kW である。g = 9.81 m/s² とする。ポンプ効率 η をパーセントで求めよ。

Q = 25 L/sH = 66 mPshaft = 19.7 kWg = 9.81 m/s²
η = %
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
300 kPa (ゲージ圧)PQ = 50 L/sΔz = 24 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0.018, ΣK = 4

ポンプが 50 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 24 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 4（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 300 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 50 L/sΔz = 24 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 4ptank = 300 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 206 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
ゲートd = 2.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

答え

F = 206 kN
2.静水圧

答え: ycp = 2.167 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m
A = H·b = 2·1.5 = 3 m²
ゲートd = 1 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 1/(2·3) = 2.167 m

答え

ycp = 2.167 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 96.83 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.25·(75/50)² = 2.813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.25² − 2.813²)/1000 = −3.174 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 100 + (−3.174) = 96.83 kPa

答え

p2 = 96.83 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 38.35 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

マノメータによる圧力差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.31 = 38318 Pa

のど部の流速

連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。

β = 75/150 = 0.5
v2 = √(2·38318/(1000·(1 − 0.0625))) = 9.041 m/s

実際の流量

Q = Cd·A2·v2 = 0.96·0.004418·9.041 = 0.03835 m³/s = 38.35 L/s

答え

Q = 38.35 L/s
5.管摩擦と損失水頭

答え: Δp = 71.87 kPa

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失水頭

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(1000/0.3)·1.4²/(2·9.81) = 7.326 m

圧力損失

管は水平で流速も変わらないので、エネルギー式は Δp = ρ·g·hf になります。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·7.326 = 71867 Pa = 71.87 kPa

答え

Δp = 71.87 kPa
6.管摩擦と損失水頭

答え: H = 19.47 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.025/0.007854 = 3.183 m/s
V²/(2g) = 0.5164 m

損失係数

f·L/D = 0.015·200/0.1 = 30
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 = 6.7

エネルギー式

出口の噴流はまだ速度水頭をもっています。これは損失ではありませんが、まかなう必要があります。

H = (1 + 30 + 6.7)·0.5164 = 19.47 m

答え

H = 19.47 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: η = 82.16 %

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·66 = 16.19 kW

効率

η = Ph/Pshaft = 16.19/19.7 = 82.16%

答え

η = 82.16%
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 61.11 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 4)·0.408 = 6.529 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9.81) = 30.58 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 24 + 30.58 + 6.529 = 61.11 m

答え

H = 61.11 m

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