流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 1.5 mH = 1.5 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 1.5 mH = 1.5 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 150 mm, p1​ = ?d2​ = 75 mm, p2​ = 90 kPa

水が 25 L/s で、150 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 90 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p1 を求めよ。

Q = 25 L/sd1 = 150 mmd2 = 75 mmp2 = 90 kPaρ = 1000 kg/m³
p1 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
H = ?d1​ = 75 mmp1​ = 150 kPad2​ = 20 mm

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 75 mm、ゲージ圧は 150 kPa である。ノズル出口の直径は 20 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d1 = 75 mmp1 = 150 kPa (ゲージ圧)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
H = m
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 0.9 m/sD = 300 mmL = 100 mf = 0.03

水が、長さ 100 m、内径 300 mm の管内を平均流速 0.9 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

V = 0.9 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 2Δz = 7 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0.0223× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.022 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 7 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、3 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 7 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 40 L/sH = 24 m

効率 78% のポンプが揚程 24 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 40 L/sH = 24 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
150 kPa (ゲージ圧)PQ = 100 L/sΔz = 5 mL = 100 m, D = 250 mm, f = 0.018, ΣK = 6

ポンプが 100 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 250 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 150 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 6ptank = 150 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 99.33 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
ゲートd = 1.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.25·4.5 = 99.33 kN

答え

F = 99.33 kN
2.静水圧

答え: F = 101.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
ゲートd = 1.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.25·4.5 = 101.8 kN

答え

F = 101.8 kN
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p1 = 105 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v1 = Q/A1 = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s
v2 = Q/A2 = 0.025/0.004418 = 5.659 m/s

ベルヌーイの定理

p1 = p2 + ½ρ(v2² − v1²) = 90 + ½·1000·(5.659² − 1.415²)/1000 = 90 + 15.01 = 105 kPa

答え

p1 = 105 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 15.37 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

出口流速

β = 20/75 = 0.2667
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·150000/(1000·0.9949)) = 17.36 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v2²/(2g) = 17.36²/(2·9.81) = 15.37 m

答え

H = 15.37 m
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 0.4128 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 0.9²/(2·9.81) = 0.04128 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(100/0.3)·0.9²/(2·9.81) = 0.4128 m

答え

hf = 0.4128 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 158.3 L/s

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失係数

f·L/D = 0.022·100/0.25 = 8.8
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

7 = (8.8 + 4.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·7/13.2) = 3.226 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.226·0.04909 = 0.1583 m³/s = 158.3 L/s

答え

Q = 158.3 L/s
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 12.07 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·24 = 9.418 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 9.418/0.78 = 12.07 kW

答え

Pshaft = 12.07 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 23.08 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (7.2 + 6)·0.2115 = 2.792 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9.81) = 15.29 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 15.29 + 2.792 = 23.08 m

答え

H = 23.08 m

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