流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 3 mH = 2 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 0.5 mH = 1.5 m

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 75 mm, p1​ = 310 kPad2​ = 25 mm, p2​ = ?

水が、75 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 310 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 310 kPav1 = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 200 mm, p1​ = 140 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?Δz = 5 m

水が、200 mm から 75 mm に細くなりながら 5 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 140 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 140 kPav1 = 1.25 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 3 m/sD = 75 mmL = 500 mf = 0.025

水が、長さ 500 m、内径 75 mm の管内を平均流速 3 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

V = 3 m/sL = 500 mD = 75 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 2Δz = 10 mL = 150 m, D = 300 mm, f = 0.0182× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 150 m、内径 300 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.018 の管でつながれている。上の貯水槽の水面は下の貯水槽の水面より 10 m 高い。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、2 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を L/s で求めよ。

Δz = 10 mL = 150 mD = 300 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 30 L/sH = 62 m

効率 82% のポンプが揚程 62 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 30 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 30 L/sH = 62 mη = 82%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
250 kPa (ゲージ圧)PQ = 25 L/sΔz = 5 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0.02, ΣK = 6

ポンプが 25 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 100 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 6（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 250 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 25 L/sΔz = 5 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 6ptank = 250 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 235.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
ゲートd = 3 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN

答え

F = 235.4 kN
2.静水圧

答え: ycp = 1.4 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²
ゲートd = 0.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·1.25·2.25 = 24.28 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.25 + 0.4219/(1.25·2.25) = 1.4 m

答え

ycp = 1.4 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 220 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.5·(75/25)² = 13.5 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.5² − 13.5²)/1000 = −90 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 310 + (−90) = 220 kPa

答え

p2 = 220 kPa
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 52.23 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 1.25·(200/75)² = 8.889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1.25² − 8.889²)/1000 = −38.72 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 140 + (−38.72) − 49.05 = 52.23 kPa

答え

p2 = 52.23 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 76.45 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 3²/(2·9.81) = 0.4587 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(500/0.075)·3²/(2·9.81) = 76.45 m

答え

hf = 76.45 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Q = 273.6 L/s

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

損失係数

f·L/D = 0.018·150/0.3 = 9
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

エネルギー式

どちらの水面も大気に開放され、ほぼ静止しているので、Δz はすべて管内で失われます。

10 = (9 + 4.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·10/13.1) = 3.87 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.87·0.07069 = 0.2736 m³/s = 273.6 L/s

答え

Q = 273.6 L/s
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 22.25 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·62 = 18.25 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 18.25/0.82 = 22.25 kW

答え

Pshaft = 22.25 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 32.46 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s
V²/(2g) = 0.102 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13.33 + 6)·0.102 = 1.972 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 25.48 + 1.972 = 32.46 m

答え

H = 32.46 m

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