流体力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、8 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

管摩擦と損失水頭

レイノルズ数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流れの状態
Re ≈ 2000 未満で層流、Re ≈ 4000 を超えると乱流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
ダルシー・ワイスバッハの式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局所損失
hm = ΣK·V²/(2g)
代表的な K の値
入口 0.5、出口 1.0、90° 曲がり ≈ 0.3
圧力損失
Δp = ρ·g·hf
2 つの開放貯水槽
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由放出
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

ポンプとポンプ動力

水動力
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
軸動力
Pshaft = Ph/ηpump
電力
Pel = Pshaft/ηmotor
ポンプ揚程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
管路系の損失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2演習問題

1.静水圧ふつう
ゲートd = 2 mH = 1 m

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
2.静水圧むずかしい
ゲートd = 2 mH = 2 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3.連続の式とベルヌーイふつう
v = ?p0​pp0​ − p = 1350 Paよどみ点

風洞内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 1350 Pa を示す。空気の密度は 1.2 kg/m³ である。風速 v を求めよ。

p0 − p = 1350 Paρ = 1.2 kg/m³
v = m/s
4.連続の式とベルヌーイむずかしい
12d1​ = 75 mm, p1​ = 260 kPad2​ = 50 mm, p2​ = ?Δz = 2 m

水が、75 mm から 50 mm に細くなりながら 2 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 260 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p2 を求めよ。

d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 260 kPav1 = 2.5 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.管摩擦と損失水頭ふつう
V = 2.7 m/sD = 50 mmL = 800 mf = 0.03

水が、長さ 800 m、内径 50 mm の管内を平均流速 2.7 m/s で流れている。 ダルシーの管摩擦係数 f = 0.03、g = 9.81 m/s² とする。摩擦損失水頭 hf を求めよ。

V = 2.7 m/sL = 800 mD = 50 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
6.管摩擦と損失水頭むずかしい
K = 2Δz = ?L = 100 m, D = 150 mm, f = 0.0254× 曲がり (K = 0.3)

2 つの開放貯水槽が、長さ 100 m、内径 150 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.025 の管でつながれている。局所損失は 角ばった入口（K = 0.5）、4 個の曲がり（各 K = 0.3）、弁（K = 2）、下の貯水槽への出口（K = 1.0） である。g = 9.81 m/s² とする。流量 50 L/s となる貯水槽間の水位差 Δz を求めよ。

Q = 50 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
7.ポンプとポンプ動力ふつう
PQ = 40 L/sH = 16 m

効率 78% のポンプが揚程 16 m に対して水（ρ = 1000 kg/m³）を 40 L/s 送っている。g = 9.81 m/s² とする。必要な軸動力 Pshaft を kW で求めよ。

Q = 40 L/sH = 16 mη = 78%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
8.ポンプとポンプ動力むずかしい
250 kPa (ゲージ圧)PQ = 20 L/sΔz = 5 mL = 400 m, D = 100 mm, f = 0.02, ΣK = 8

ポンプが 20 L/s の水（ρ = 1000 kg/m³）を、開放された下の貯水槽から、水面が 5 m 高い上のタンクへ送る。管は長さ 400 m、内径 100 mm、ダルシーの管摩擦係数 f = 0.02 で、局所損失係数の合計は ΣK = 8（入口と出口を含む）である。g = 9.81 m/s² とする。 上のタンクは密閉されており、水面上の空気のゲージ圧は 250 kPa である。ポンプが与えなければならない揚程 H を求めよ。

Q = 20 L/sΔz = 5 mL = 400 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m

3溶液

1.静水圧

答え: F = 73.58 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
ゲートd = 2 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

答え

F = 73.58 kN
2.静水圧

答え: ycp = 3.111 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
ゲートd = 2 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·3·2 = 74.16 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 1·2³/12 = 0.6667 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3 + 0.6667/(3·2) = 3.111 m

答え

ycp = 3.111 m
3.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 47.43 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·1350/1.2) = 47.43 m/s

答え

v = 47.43 m/s
4.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 227.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 2.5·(75/50)² = 5.625 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(2.5² − 5.625²)/1000 = −12.7 kPa
ρgΔz = 1000·9.81·2/1000 = 19.62 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 260 + (−12.7) − 19.62 = 227.7 kPa

答え

p2 = 227.7 kPa
5.管摩擦と損失水頭

答え: hf = 178.3 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度水頭

V²/(2g) = 2.7²/(2·9.81) = 0.3716 m

ダルシー・ワイスバッハの式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(800/0.05)·2.7²/(2·9.81) = 178.3 m

答え

hf = 178.3 m
6.管摩擦と損失水頭

答え: Δz = 8.718 m

管内流れ：レイノルズ数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ によって、層流（Re が約 2000 未満）と乱流（約 4000 超）を区別します。管に沿った摩擦によってダルシー・ワイスバッハの損失水頭 hf = f·(L/D)·V²/(2g) が生じます。継手、弁、入口、出口は局所損失 hm = ΣK·V²/(2g) を加えます。2 つの開放貯水槽の水面間では、エネルギー式から Δz = hf + hm（出口損失 K = 1 を含む）が得られます。

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m

損失係数

f·L/D = 0.025·100/0.15 = 16.67
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

全損失水頭

hf = 16.67·0.408 = 6.801 m
hm = 4.7·0.408 = 1.918 m
Δz = hf + hm = 8.718 m

答え

Δz = 8.718 m
7.ポンプとポンプ動力

答え: Pshaft = 8.049 kW

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

水動力

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·16 = 6.278 kW

軸動力

Pshaft = Ph/η = 6.278/0.78 = 8.049 kW

答え

Pshaft = 8.049 kW
8.ポンプとポンプ動力

答え: H = 59.57 m

ポンプ動力：水に与えられる動力は水動力 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp です。ポンプには損失があるので、軸はそれより大きな動力を伝えなければなりません：Pshaft = Ph/ηpump。モーターが消費する電力は Pel = Pshaft/ηmotor です。ポンプ揚程 H はエネルギー式から求めます：実揚程 + 圧力水頭 + すべての摩擦損失と局所損失。

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

損失水頭

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (80 + 8)·0.3305 = 29.08 m

圧力水頭

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

ポンプ揚程

どちらの水面もほぼ静止しているので、速度水頭の項はありません。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 5 + 25.48 + 29.08 = 59.57 m

答え

H = 59.57 m

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