土質力学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

地盤の有効応力

全応力
σ = Σγi·hi
間隙水圧
u = γw·(z − zw)
有効応力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

圧密沈下

正規圧密
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最終応力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
過圧密、σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
過圧密、σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
過圧密比
OCR = σ′p/σ′0
圧密時間
t = Tv·Hdr²/cv
排水距離
Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
時間係数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

2演習問題

1.地盤の有効応力ふつう
砂γd​ = 16 kN/m³γsat​ = 20.5 kN/m³13 m地下水位Xz = 12 m

図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。

z = 12 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³
σ′ = kPa
2.地盤の有効応力むずかしい
砂γd​ = 16 kN/m³γsat​ = 20.5 kN/m³5 m粘土γsat​ = 17 kN/m³7 m地下水位Xz = 8.5 m

図の地盤断面について、点 X の間隙水圧 u を求めよ。

z = 8.5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³粘土: γsat = 17 kN/m³
u = kPa
3.圧密沈下ふつう
Δσ = 35 kPa砂粘土Cc​ = 0.2, Cr​ = 0.04e0​ = 1σ′0​ = 55 kPaσ′p​ = 175 kPa4.5 m地下水位

厚さ 4.5 m の過圧密粘土層の Cc = 0.2、Cr = 0.04、e₀ = 1 である。中央深さでの有効鉛直応力は 55 kPa であり、 圧密降伏応力は 175 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 35 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。

H = 4.5 mCc = 0.2Cr = 0.04e0 = 1σ′0 = 55 kPaσ′p = 175 kPaΔσ = 35 kPa
S = mm
4.圧密沈下むずかしい
砂粘土H = 4.5 mcv​ = 3 m²/年度4.5 m砂地下水位

厚さ 4.5 m の粘土層の圧密係数は cv = 3 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。 平均圧密度 90% に対する時間係数は Tv = 0.848 である。この層が圧密度 90% に達するまでに何年 t かかるか。

H = 4.5 mcv = 3 m²/年度U = 90%Tv = 0.848両面排水
t = 年
5.静水圧ふつう
ゲートd = 4 mH = 2 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
6.静水圧むずかしい
ゲートd = 1.5 mH = 1.5 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m

3溶液

1.地盤の有効応力

答え: σ′ = 144.2 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

全応力

X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·3 + 20.5·9 = 232.5 kPa

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·9 = 88.29 kPa

有効応力

σ′ = σ − u = 232.5 − 88.29 = 144.2 kPa

答え

σ′ = 144.2 kPa
2.地盤の有効応力

答え: u = 73.58 kPa

有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。

間隙水圧

水圧は地下水位からの深さとともに増えます。

u = γw·(z − zw) = 9.81·7.5 = 73.58 kPa

答え

u = 73.58 kPa
3.圧密沈下

答え: S = 19.25 mm

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

圧密降伏応力と比べる

σ′f = 55 + 35 = 90 kPa ≤ 175 kPa

沈下量

粘土は再圧縮線上にとどまります。

S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.04·4.5/(1 + 1)·log₁₀(90/55) = 19.25 mm

答え

S = 19.25 mm
4.圧密沈下

答え: t = 1.431 年

厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。

排水距離

Hdr = H/2 = 4.5/2 = 2.25 m

時間

t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·2.25²/3 = 1.431 年

答え

t = 1.431 年
5.静水圧

答え: F = 196.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
ゲートd = 4 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5·4 = 196.2 kN

答え

F = 196.2 kN
6.静水圧

答え: ycp = 2.333 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m
A = H·b = 1.5·2 = 3 m²
ゲートd = 1.5 mH = 1.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.25·3 = 67.87 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.25 + 0.5625/(2.25·3) = 2.333 m

答え

ycp = 2.333 m

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