地盤の有効応力
- 全応力
- σ = Σγi·hi
- 間隙水圧
- u = γw·(z − zw)
- 有効応力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
土質力学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、6 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
圧密沈下
- 正規圧密
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最終応力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 過圧密、σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 過圧密、σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 過圧密比
- OCR = σ′p/σ′0
- 圧密時間
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水距離
- Hdr = H/2（両面排水）、H（片面排水）
- 時間係数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水圧
- 深さでの圧力
- p = ρgh
- 鉛直な壁に働く力
- F = ρg·hc·A
- 圧力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 長方形
- Ic = bH³/12
2演習問題
1.地盤の有効応力ふつう
図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。
z = 8 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³
σ′ = kPa
2.地盤の有効応力むずかしい
図の地盤断面について、点 X の鉛直有効応力 σ′ を求めよ。
z = 8.5 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³粘土: γsat = 18 kN/m³
σ′ = kPa
3.圧密沈下ふつう
厚さ 3.5 m の過圧密粘土層の Cc = 0.5、Cr = 0.06、e₀ = 1.15 である。中央深さでの有効鉛直応力は 75 kPa であり、 圧密降伏応力は 185 kPa である。 新しい建物により、中央深さの鉛直応力が 90 kPa 増加する。一次圧密沈下量 S を mm で求めよ。
H = 3.5 mCc = 0.5Cr = 0.06e0 = 1.15σ′0 = 75 kPaσ′p = 185 kPaΔσ = 90 kPa
S = mm
4.圧密沈下むずかしい
厚さ 10 m の粘土層の圧密係数は cv = 1.5 m²/年である。 2 つの砂層にはさまれているので、水は上面と下面から排水される。 平均圧密度 70% に対する時間係数は Tv = 0.403 である。この層が圧密度 70% に達するまでに何年 t かかるか。
H = 10 mcv = 1.5 m²/年度U = 70%Tv = 0.403両面排水
t = 年
5.静水圧ふつう
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。
d = 3 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
6.静水圧むずかしい
幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。
d = 2 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
3溶液
1.地盤の有効応力
答え: σ′ = 99.95 kPa
有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。
全応力
X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15.5·3 + 20.5·5 = 149 kPa
間隙水圧
水圧は地下水位からの深さとともに増えます。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa
有効応力
σ′ = σ − u = 149 − 49.05 = 99.95 kPa
答え
σ′ = 99.95 kPa
2.地盤の有効応力
答え: σ′ = 97.54 kPa
有効応力（テルツァーギ）：土の骨格が受け持つのは σ′ = σ − u です。全応力 σ はその点より上にあるものすべての重さ Σγ·h で、地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。地下水位より下の間隙水圧は静水圧です：u = γw·（地下水位からの深さ）。
全応力
X より上の各土層の重さを足します。地下水位より上は乾燥単位体積重量、下は飽和単位体積重量を使います。
σ = γd·3 + γsat,sand·3 + γsat,clay·2.5
σ = 16·3 + 19.5·3 + 18·2.5 = 151.5 kPa
間隙水圧
水圧は地下水位からの深さとともに増えます。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa
有効応力
σ′ = σ − u = 151.5 − 53.96 = 97.54 kPa
答え
σ′ = 97.54 kPa
3.圧密沈下
答え: S = 33.45 mm
厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。
圧密降伏応力と比べる
σ′f = 75 + 90 = 165 kPa ≤ 185 kPa
沈下量
粘土は再圧縮線上にとどまります。
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.06·3.5/(1 + 1.15)·log₁₀(165/75) = 33.45 mm
答え
S = 33.45 mm
4.圧密沈下
答え: t = 6.717 年
厚さ H の粘土層の一次圧密は、層の中央での有効応力 σ′f = σ′0 + Δσ を用いて計算します。正規圧密粘土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。過圧密粘土は圧密降伏応力 σ′p までは Cr に沿って再圧縮し、それを超えてから Cc に従います。時間：t = Tv·Hdr²/cv。排水距離 Hdr は、上下両面から排水できるときは H/2、片面だけから排水するときは H です。
排水距離
Hdr = H/2 = 10/2 = 5 m
時間
t = Tv·Hdr²/cv = 0.403·5²/1.5 = 6.717 年
答え
t = 6.717 年
5.静水圧
答え: F = 156.3 kN
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.25·3.75 = 156.3 kN
答え
F = 156.3 kN
6.静水圧
答え: ycp = 3.714 m
平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。
図心の深さと面積
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m
A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·3.5·4.5 = 136 kN
圧力中心
圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。
Ic = b·H³/12 = 1.5·3³/12 = 3.375 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 3.375/(3.5·4.5) = 3.714 m
答え
ycp = 3.714 m
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