伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72250 mm石こうボード, k = 0.17150 mm18 °C-11 °CTi​ = ?Q̇

壁はれんが 250 mm と石こうボード 150 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 18 °C と -11 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 18 °CT3 = -11 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.9650 mm木材, k = 0.1750 mm室内 22 °C屋外 -5 °CQ̇

50 mm のガラスと 50 mm の木材からなる壁が、22 °C の部屋と -5 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -5 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT165 °C135 °C30 °C125 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 180 kW を伝える。 伝熱面積は 6 m² である。高温流体は 165 から 135 °C まで冷え、低温流体は 30 から 125 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 180 kWA = 6 m²Th: 165 → 135 °CTc: 30 → 125 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT100 °C??10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器で、両方の流体の熱容量流量は等しく ṁ·cp = 1 kW/K である。高温流体は 100 °C、低温流体は 10 °C で流入する。熱交換器の A = 1.5 m²、U = 200 W/(m²·K) である。高温側の出口温度 Th,out を求めよ。

Ch = Cc = 1 kW/KTh,in = 100 °CTc,in = 10 °CA = 1.5 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 9.811 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.72·10) = 0.03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·10) = 0.08824 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 29/0.123 = 235.9 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 235.9·0.03472 = 9.811 °C

答え

Ti = 9.811 °C
2.熱伝導

答え: U = 2.085 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0.01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.96·6) = 0.008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·6) = 0.04902 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0.005556 K/W
ΣR = 0.07992 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0.07992) = 2.085 W/(m²·K)

答え

U = 2.085 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 624.6 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 30 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 135 − 125 = 10 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 10)/ln(135/10) = 48.03 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 180000/(6·48.03) = 624.6 W/(m²·K)

答え

U = 624.6 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Th,out = 79.23 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

一定の温度差

低温側の出口は高温側の入口と向き合います：Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)、したがって ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂。

ΔTlm = Th,out − Tc,in

エネルギー収支 = 伝熱速度の式

1·(100 − Th,out) = 0.3·(Th,out − 10)
Th,out = (1·100 + 0.3·10)/(1 + 0.3) = 79.23 °C

答え

Th,out = 79.23 °C

伝熱量：Q̇ = 20.77 kW。低温流体は 30.77 °C で流出します。

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