熱伝導
- フーリエの法則
- Q̇ = kAΔT/L
- 熱伝導抵抗
- R = L/(kA)
- 対流熱抵抗
- R = 1/(hA)
- 直列の熱抵抗
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- U 値
- U = 1/(ΣR·A)
伝熱工学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
熱交換器 (LMTD)
- 交換熱量
- Q = U·A·ΔTlm
- 対数平均温度差
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- 流体ごとの熱収支
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2演習問題
1.熱伝導ふつう
壁はガラス 50 mm と木材 50 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 23 °C と -4 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。
L1 = 50 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 23 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
100 mm の石こうボードと 25 mm の木材からなる壁が、21 °C の部屋と -5 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 10 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。
L1 = 100 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
向流熱交換器が 450 kW を伝える。 高温流体は 110 から 90 °C まで冷え、低温流体は 10 から 85 °C まで温まる。熱通過率は 1000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。
Q̇ = 450 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 110 → 90 °CTc: 10 → 85 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 85 から 40 °C まで冷える。油は 15 °C で流入する水 2 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 200 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。
ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 85 → 40 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3溶液
1.熱伝導
答え: Q̇ = 312 W
熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。
各層の熱抵抗
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.96·4) = 0.01302 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·4) = 0.07353 K/W
熱流量
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0.08655 = 312 W
答え
Q̇ = 312 W
2.熱伝導
答え: Ts = 17.43 °C
熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。
直列の熱抵抗
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0.0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.17·10) = 0.05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.17·10) = 0.01471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0.005 K/W
ΣR = 0.09103 K/W
熱損失
Q̇ = (21 − (-5))/0.09103 = 285.6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 285.6·0.0125 = 17.43 °C
答え
Ts = 17.43 °C
3.熱交換器 (LMTD)
答え: A = 9.517 m²
LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。
両端の温度差
向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 85 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 10 = 80 K
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 80)/ln(25/80) = 47.29 K
面積
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(1000·47.29) = 9.517 m²
答え
A = 9.517 m²
4.熱交換器 (LMTD)
答え: A = 23.44 m²
LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。
熱負荷と水の出口温度
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.5·45 = 168.8 kW
Tc,out = 15 + 168.8/(2·4.18) = 35.19 °C
両端の温度差
向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 35.19 = 49.81 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 15 = 25 K
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (49.81 − 25)/ln(49.81/25) = 35.99 K
面積
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 168750/(200·35.99) = 23.44 m²
答え
A = 23.44 m²
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