伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72200 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03525 mm21 °C1 °CQ̇ = ?

壁はれんが 200 mm と発泡ポリスチレン 25 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 21 °C と 1 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 21 °CT3 = 1 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4150 mmロックウール, k = 0.0450 mm室内 20 °C屋外 -10 °CQ̇

150 mm のコンクリートと 50 mm のロックウールからなる壁が、20 °C の部屋と -10 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 6 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT140 °C25 °C45 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 140 °C で凝縮する。冷却水（1 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、25 から 45 °C まで温まる。熱通過率は 3500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 140 °Cṁ = 1 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 45 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT95 °C50 °C?15 °CΔT₁ΔT₂向流

向流二重管式熱交換器で、高温の油（1 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が内管を流れ、95 から 50 °C まで冷える。 環状部の水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 15 °C で流入する。内管の直径は 50 mm で、U = 500 W/(m²·K) はこの直径を基準とする。必要な管の長さ L を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 95 → 50 °Cṁc = 0.5 kg/sTc,in = 15 °CD = 50 mmU = 500 W/(m²·K)
L = m

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 80.64 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.72·4) = 0.06944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.035·4) = 0.1786 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0.248 = 80.64 W

答え

Q̇ = 80.64 W
2.熱伝導

答え: U = 0.6577 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·6) = 0.02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1.4·6) = 0.01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.04·6) = 0.2083 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0.005556 K/W
ΣR = 0.2534 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(6·0.2534) = 0.6577 W/(m²·K)

答え

U = 0.6577 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 0.2282 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 1·4.18·(45 − 25) = 83.6 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 140 − 25 = 115 K
ΔT₂ = 140 − 45 = 95 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 95)/ln(115/95) = 104.7 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 83600/(3500·104.7) = 0.2282 m²

答え

A = 0.2282 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: L = 40.32 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = 1·2.3·(95 − 50) = 103.5 kW
Tc,out = 15 + 103.5/(0.5·4.18) = 64.52 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 64.52 = 30.48 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 15 = 35 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30.48 − 35)/ln(30.48/35) = 32.69 K

面積と長さ

A = 103500/(500·32.69) = 6.333 m²
L = A/(πD) = 6.333/(π·0.05) = 40.32 m

答え

L = 40.32 m

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