伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96200 mmロックウール, k = 0.0450 mm23 °C-11 °CQ̇ = ?

壁はガラス 200 mm とロックウール 50 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 23 °C と -11 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 23 °CT3 = -11 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
ロックウール, k = 0.0450 mm石こうボード, k = 0.1775 mm室内 22 °C屋外 -14 °CQ̇

50 mm のロックウールと 75 mm の石こうボードからなる壁が、22 °C の部屋と -14 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 20 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -14 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT120 °C25 °C45 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 120 °C で凝縮する。冷却水（5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、25 から 45 °C まで温まる。熱通過率は 2500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 120 °Cṁ = 5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 45 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT130 °C35 °C81.59 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 130 から 35 °C まで冷える。油は 10 °C で流入する水 1 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 1500 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 130 → 35 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 93.26 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.96·4) = 0.05208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.04·4) = 0.3125 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0.3646 = 93.26 W

答え

Q̇ = 93.26 W
2.熱伝導

答え: U = 0.5481 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0.005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.04·20) = 0.0625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.17·20) = 0.02206 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0.001667 K/W
ΣR = 0.09123 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(20·0.09123) = 0.5481 W/(m²·K)

答え

U = 0.5481 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 1.976 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 5·4.18·(45 − 25) = 418 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 120 − 25 = 95 K
ΔT₂ = 120 − 45 = 75 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 75)/ln(95/75) = 84.61 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 418000/(2500·84.61) = 1.976 m²

答え

A = 1.976 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 5.632 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.1·95 = 299.3 kW
Tc,out = 10 + 299.3/(1·4.18) = 81.59 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 81.59 = 48.41 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 10 = 25 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (48.41 − 25)/ln(48.41/25) = 35.42 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 299250/(1500·35.42) = 5.632 m²

答え

A = 5.632 m²

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