伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ロックウール, k = 0.04100 mmガラス, k = 0.96100 mm25 °C-7 °CQ̇ = ?

壁はロックウール 100 mm とガラス 100 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 25 °C と -7 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 25 °CT3 = -7 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96200 mm石こうボード, k = 0.1725 mm室内 20 °C屋外 -5 °CTs​ = ?Q̇

200 mm のガラスと 25 mm の石こうボードからなる壁が、20 °C の部屋と -5 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT135 °C105 °C25 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 180 kW を伝える。 伝熱面積は 5 m² である。高温流体は 135 から 105 °C まで冷え、低温流体は 10 から 25 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 180 kWA = 5 m²Th: 135 → 105 °CTc: 10 → 25 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT180 °C160 °C30.5 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 180 から 160 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 2 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 200 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 180 → 160 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 49.15 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.04·4) = 0.625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.96·4) = 0.02604 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0.651 = 49.15 W

答え

Q̇ = 49.15 W
2.熱伝導

答え: Ts = 14.88 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0.006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.96·15) = 0.01389 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.17·15) = 0.009804 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0.002222 K/W
ΣR = 0.03258 K/W

熱損失

Q̇ = (20 − (-5))/0.03258 = 767.3 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 767.3·0.006667 = 14.88 °C

答え

Ts = 14.88 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 351.8 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 25 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 10 = 95 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 95)/ln(110/95) = 102.3 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 180000/(5·102.3) = 351.8 W/(m²·K)

答え

U = 351.8 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 1.618 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.3·20 = 46 kW
Tc,out = 25 + 46/(2·4.18) = 30.5 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 30.5 = 149.5 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 160 − 25 = 135 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (149.5 − 135)/ln(149.5/135) = 142.1 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 46000/(200·142.1) = 1.618 m²

答え

A = 1.618 m²

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