伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ロックウール, k = 0.0450 mm木材, k = 0.1750 mm16 °C9 °CTi​ = ?Q̇

壁はロックウール 50 mm と木材 50 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 16 °C と 9 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 16 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
れんが, k = 0.72100 mm石こうボード, k = 0.1750 mm室内 20 °C屋外 0 °CQ̇

100 mm のれんがと 50 mm の石こうボードからなる壁が、20 °C の部屋と 0 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 100 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 0 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT130 °C85 °C115 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

シェルアンドチューブ熱交換器（1 シェルパス、2 チューブパス）で 510 kW を伝えなければならない。高温流体は 130 から 85 °C まで冷え、低温流体は 30 から 115 °C まで温まる。この配置の LMTD 補正係数は F = 0.8、U = 1000 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 510 kWF = 0.8U = 1000 W/(m²·K)Th: 130 → 85 °CTc: 30 → 115 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT175 °C??25 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器で、両方の流体の熱容量流量は等しく ṁ·cp = 0.5 kW/K である。高温流体は 175 °C、低温流体は 25 °C で流入する。熱交換器の A = 3 m²、U = 200 W/(m²·K) である。高温側の出口温度 Th,out を求めよ。

Ch = Cc = 0.5 kW/KTh,in = 175 °CTc,in = 25 °CA = 3 m²U = 200 W/(m²·K)
Th,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 10.33 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.04·4) = 0.3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·4) = 0.07353 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 7/0.386 = 18.13 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 18.13·0.3125 = 10.33 °C

答え

Ti = 10.33 °C
2.熱伝導

答え: U = 1.677 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·15) = 0.008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0.72·15) = 0.009259 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·15) = 0.01961 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0.002222 K/W
ΣR = 0.03975 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0.03975) = 1.677 W/(m²·K)

答え

U = 1.677 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 20.71 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差（向流）

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 115 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 85 − 30 = 55 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 55)/ln(15/55) = 30.79 K

面積

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 510000/(1000·0.8·30.79) = 20.71 m²

答え

A = 20.71 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Th,out = 93.18 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

一定の温度差

低温側の出口は高温側の入口と向き合います：Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out)、したがって ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂。

ΔTlm = Th,out − Tc,in

エネルギー収支 = 伝熱速度の式

0.5·(175 − Th,out) = 0.6·(Th,out − 25)
Th,out = (0.5·175 + 0.6·25)/(0.5 + 0.6) = 93.18 °C

答え

Th,out = 93.18 °C

伝熱量：Q̇ = 40.91 kW。低温流体は 106.8 °C で流出します。

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