伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
木材, k = 0.1750 mm発泡ポリスチレン, k = 0.035150 mm17 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

壁は木材 50 mm と発泡ポリスチレン 150 mm からなり、面積は 8 m² である。外側の両面は 17 °C と -8 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ロックウール, k = 0.04250 mm石こうボード, k = 0.17150 mm室内 21 °C屋外 -4 °CQ̇ = ?

250 mm のロックウールと 150 mm の石こうボードからなる壁が、21 °C の部屋と -4 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 20 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -4 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT80 °C30 °C40 °C10 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 270 kW を伝える。 高温流体は 80 から 30 °C まで冷え、低温流体は 10 から 40 °C まで温まる。熱通過率は 1500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 270 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 80 → 30 °CTc: 10 → 40 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT80 °C55 °C44.9 °C15 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（2 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 80 から 55 °C まで冷える。油は 15 °C で流入する水 1 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 1000 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 2 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 80 → 55 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 15.39 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·8) = 0.03676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.035·8) = 0.5357 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0.5725 = 43.67 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 43.67·0.03676 = 15.39 °C

答え

Ti = 15.39 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 68.52 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0.00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.04·20) = 0.3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·20) = 0.04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0.002 K/W
ΣR = 0.3649 K/W

熱損失

Q̇ = (21 − (-4))/0.3649 = 68.52 W

答え

Q̇ = 68.52 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 6.238 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 40 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 30 − 10 = 20 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 20)/ln(40/20) = 28.85 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 270000/(1500·28.85) = 6.238 m²

答え

A = 6.238 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.334 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2.5·25 = 125 kW
Tc,out = 15 + 125/(1·4.18) = 44.9 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 44.9 = 35.1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 15 = 40 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35.1 − 40)/ln(35.1/40) = 37.49 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 125000/(1000·37.49) = 3.334 m²

答え

A = 3.334 m²

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