伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
発泡ポリスチレン, k = 0.03550 mm石こうボード, k = 0.1750 mm23 °C-3 °CTi​ = ?Q̇

壁は発泡ポリスチレン 50 mm と石こうボード 50 mm からなり、面積は 8 m² である。外側の両面は 23 °C と -3 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 23 °CT3 = -3 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
木材, k = 0.1750 mmコンクリート, k = 1.450 mm室内 22 °C屋外 4 °CQ̇

50 mm の木材と 50 mm のコンクリートからなる壁が、22 °C の部屋と 4 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁の熱通過率 U を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1.4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 4 °C
U = W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT120 °C25 °C110 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 120 °C で凝縮する。冷却水（1 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、25 から 110 °C まで温まる。熱通過率は 2500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 120 °Cṁ = 1 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 110 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT100 °C55 °C83.83 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1 kg/s、cp = 2.5 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 100 から 55 °C まで冷える。油は 30 °C で流入する水 0.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 300 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1 kg/scp,h = 2.5 kJ/(kg·K)Th: 100 → 55 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 1.439 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.035·8) = 0.1786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.17·8) = 0.03676 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0.2153 = 120.7 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 120.7·0.1786 = 1.439 °C

答え

Ti = 1.439 °C
2.熱伝導

答え: U = 1.887 W/(m²·K)

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·8) = 0.03676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1.4·8) = 0.004464 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0.004167 K/W
ΣR = 0.06623 K/W

熱通過率

U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0.06623) = 1.887 W/(m²·K)

答え

U = 1.887 W/(m²·K)
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 3.764 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 1·4.18·(110 − 25) = 355.3 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 120 − 25 = 95 K
ΔT₂ = 120 − 110 = 10 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 10)/ln(95/10) = 37.76 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 355300/(2500·37.76) = 3.764 m²

答え

A = 3.764 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 18.5 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2.5·45 = 112.5 kW
Tc,out = 30 + 112.5/(0.5·4.18) = 83.83 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 83.83 = 16.17 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (16.17 − 25)/ln(16.17/25) = 20.27 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 112500/(300·20.27) = 18.5 m²

答え

A = 18.5 m²

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