伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
コンクリート, k = 1.4250 mmガラス, k = 0.96150 mm15 °C4 °CQ̇ = ?

壁はコンクリート 250 mm とガラス 150 mm からなり、面積は 4 m² である。外側の両面は 15 °C と 4 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 15 °CT3 = 4 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96200 mm木材, k = 0.17150 mm室内 22 °C屋外 4 °CQ̇ = ?

200 mm のガラスと 150 mm の木材からなる壁が、22 °C の部屋と 4 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 4 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT110 °C30 °C100 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 110 °C で凝縮する。冷却水（2 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、30 から 100 °C まで温まる。熱通過率は 3500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 110 °Cṁ = 2 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 100 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT80 °C60 °C36 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 80 から 60 °C まで冷える。油は 25 °C で流入する水 1.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 200 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 80 → 60 °Cṁc = 1.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 131.4 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1.4·4) = 0.04464 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.96·4) = 0.03906 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0.08371 = 131.4 W

答え

Q̇ = 131.4 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 114.2 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·8) = 0.01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.96·8) = 0.02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·8) = 0.1103 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0.005 K/W
ΣR = 0.1576 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (4))/0.1576 = 114.2 W

答え

Q̇ = 114.2 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 4.967 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 2·4.18·(100 − 30) = 585.2 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 110 − 30 = 80 K
ΔT₂ = 110 − 100 = 10 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 10)/ln(80/10) = 33.66 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 585200/(3500·33.66) = 4.967 m²

答え

A = 4.967 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 8.773 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.3·20 = 69 kW
Tc,out = 25 + 69/(1.5·4.18) = 36 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 36 = 44 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (44 − 35)/ln(44/35) = 39.33 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 69000/(200·39.33) = 8.773 m²

答え

A = 8.773 m²

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