伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ロックウール, k = 0.04150 mmれんが, k = 0.7275 mm19 °C-9 °CTi​ = ?Q̇

壁はロックウール 150 mm とれんが 75 mm からなり、面積は 20 m² である。外側の両面は 19 °C と -9 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 19 °CT3 = -9 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
ガラス, k = 0.96200 mmロックウール, k = 0.0425 mm室内 22 °C屋外 -1 °CTs​ = ?Q̇

200 mm のガラスと 25 mm のロックウールからなる壁が、22 °C の部屋と -1 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 7.7 W/(m²·K)、屋外側 25 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7.7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -1 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT120 °C25 °C80 °CΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

復水器で、蒸気が管の外側で一定の 120 °C で凝縮する。冷却水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）が管内を流れ、25 から 80 °C まで温まる。熱通過率は 3500 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Ts = 120 °Cṁ = 0.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 80 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT130 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 4 m²、U = 1000 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 130 °C で凝縮する。冷却水（1.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 25 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 130 °CA = 4 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 1.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = −8.243 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.04·20) = 0.1875 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.72·20) = 0.005208 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0.1927 = 145.3 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 145.3·0.1875 = −8.243 °C

答え

Ti = −8.243 °C
2.熱伝導

答え: Ts = 19.02 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(7.7·8) = 0.01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0.96·8) = 0.02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.04·8) = 0.07813 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0.005 K/W
ΣR = 0.1254 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (-1))/0.1254 = 183.4 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 183.4·0.01623 = 19.02 °C

答え

Ts = 19.02 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 0.5165 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

水側からの熱負荷

Q̇ = 0.5·4.18·(80 − 25) = 114.9 kW

両端の温度差

ΔT₁ = 120 − 25 = 95 K
ΔT₂ = 120 − 80 = 40 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 40)/ln(95/40) = 63.58 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 114950/(3500·63.58) = 0.5165 m²

答え

A = 0.5165 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 74.52 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·4/(1.5·4180) = 0.638

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−0.638 = 105·0.5284 = 55.48 K
Tc,out = 130 − 55.48 = 74.52 °C

答え

Tc,out = 74.52 °C

伝熱量：Q̇ = 310.5 kW。

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