伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
木材, k = 0.17250 mm石こうボード, k = 0.17100 mm19 °C-4 °CQ̇ = ?

壁は木材 250 mm と石こうボード 100 mm からなり、面積は 20 m² である。外側の両面は 19 °C と -4 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 19 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
木材, k = 0.1750 mm石こうボード, k = 0.17150 mm室内 22 °C屋外 0 °CTs​ = ?Q̇

50 mm の木材と 150 mm の石こうボードからなる壁が、22 °C の部屋と 0 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 8 W/(m²·K)、屋外側 20 W/(m²·K)、壁の面積は 20 m² である。 壁の内表面温度 Ts を求めよ。

L1 = 50 mm, k1 = 0.17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0.17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 0 °C
Ts = °C
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT110 °C55 °C100 °C25 °CΔT₁ΔT₂向流

シェルアンドチューブ熱交換器（1 シェルパス、2 チューブパス）で 380 kW を伝えなければならない。高温流体は 110 から 55 °C まで冷え、低温流体は 25 から 100 °C まで温まる。この配置の LMTD 補正係数は F = 0.88、U = 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 380 kWF = 0.88U = 800 W/(m²·K)Th: 110 → 55 °CTc: 25 → 100 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT80 °C55 °C29.42 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（1.5 kg/s、cp = 2.1 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 80 から 55 °C まで冷える。油は 20 °C で流入する水 2 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 300 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 1.5 kg/scp,h = 2.1 kJ/(kg·K)Th: 80 → 55 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 223.4 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.17·20) = 0.07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0.17·20) = 0.02941 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0.1029 = 223.4 W

答え

Q̇ = 223.4 W
2.熱伝導

答え: Ts = 19.97 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0.00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0.17·20) = 0.01471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0.17·20) = 0.04412 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0.0025 K/W
ΣR = 0.06757 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (0))/0.06757 = 325.6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 325.6·0.00625 = 19.97 °C

答え

Ts = 19.97 °C
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 29.65 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差（向流）

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 100 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 30)/ln(10/30) = 18.2 K

面積

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 380000/(800·0.88·18.2) = 29.65 m²

答え

A = 29.65 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 6.204 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1.5·2.1·25 = 78.75 kW
Tc,out = 20 + 78.75/(2·4.18) = 29.42 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 29.42 = 50.58 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (50.58 − 35)/ln(50.58/35) = 42.31 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 78750/(300·42.31) = 6.204 m²

答え

A = 6.204 m²

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