伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
れんが, k = 0.72150 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03575 mm25 °C9 °CTi​ = ?Q̇

壁はれんが 150 mm と発泡ポリスチレン 75 mm からなり、面積は 12 m² である。外側の両面は 25 °C と 9 °C である。 2 つの層の境界面の温度 Ti を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 0.72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = 9 °C
Ti = °C
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4150 mmガラス, k = 0.9625 mm室内 22 °C屋外 -7 °CQ̇ = ?

150 mm のコンクリートと 25 mm のガラスからなる壁が、22 °C の部屋と -7 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 10 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 15 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 150 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0.96 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -7 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT125 °C65 °C95 °C20 °CΔT₁ΔT₂向流

向流熱交換器が 20 kW を伝える。 高温流体は 125 から 65 °C まで冷え、低温流体は 20 から 95 °C まで温まる。熱通過率は 800 W/(m²·K) である。必要な伝熱面積 A を求めよ。

Q̇ = 20 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 125 → 65 °CTc: 20 → 95 °C
A = m²
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT130 °C55 °C71.27 °C30 °CΔT₁ΔT₂向流

高温の油（0.5 kg/s、cp = 2.3 kJ/(kg·K)）が向流熱交換器で 130 から 55 °C まで冷える。油は 30 °C で流入する水 0.5 kg/s（cp = 4.18 kJ/(kg·K)）を加熱する。U = 1000 W/(m²·K) のとき、必要な伝熱面積 A を求めよ。

ṁh = 0.5 kg/scp,h = 2.3 kJ/(kg·K)Th: 130 → 55 °Cṁc = 0.5 kg/scp,c = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3溶液

1.熱伝導

答え: Ti = 23.58 °C

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0.72·12) = 0.01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.035·12) = 0.1786 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 16/0.1959 = 81.66 W

境界面温度

最初の層で温度は Q̇·R₁ だけ下がります。

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 81.66·0.01736 = 23.58 °C

答え

Ti = 23.58 °C
2.熱伝導

答え: Q̇ = 1632 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0.006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1.4·15) = 0.007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0.96·15) = 0.001736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0.002222 K/W
ΣR = 0.01777 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (-7))/0.01777 = 1632 W

答え

Q̇ = 1632 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 0.6758 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 95 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 20 = 45 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 45)/ln(30/45) = 36.99 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 20000/(800·36.99) = 0.6758 m²

答え

A = 0.6758 m²
4.熱交換器 (LMTD)

答え: A = 2.184 m²

LMTD 法：流体間の温度差は熱交換器に沿って変化するので、伝熱の式ではその対数平均を使います：Q̇ = U·A·ΔTlm、ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)（ΔT₁、ΔT₂ は両端の温度差）。出入口温度が同じなら、向流の ΔTlm は並流より大きくなります。

熱負荷と水の出口温度

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0.5·2.3·75 = 86.25 kW
Tc,out = 30 + 86.25/(0.5·4.18) = 71.27 °C

両端の温度差

向流では、高温側入口が低温側出口と、高温側出口が低温側入口と向かい合います。

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 71.27 = 58.73 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 30 = 25 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (58.73 − 25)/ln(58.73/25) = 39.49 K

面積

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 86250/(1000·39.49) = 2.184 m²

答え

A = 2.184 m²

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