伝熱工学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、4 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

熱伝導

フーリエの法則
Q̇ = kAΔT/L
熱伝導抵抗
R = L/(kA)
対流熱抵抗
R = 1/(hA)
直列の熱抵抗
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
U 値
U = 1/(ΣR·A)

熱交換器 (LMTD)

交換熱量
Q = U·A·ΔTlm
対数平均温度差
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
流体ごとの熱収支
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2演習問題

1.熱伝導ふつう
ガラス, k = 0.96250 mm発泡ポリスチレン, k = 0.03575 mm18 °C-13 °CQ̇ = ?

壁はガラス 250 mm と発泡ポリスチレン 75 mm からなり、面積は 10 m² である。外側の両面は 18 °C と -13 °C である。 壁を通る熱流量 Q̇ を求めよ。

L1 = 250 mm, k1 = 0.96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0.035 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 18 °CT3 = -13 °C
Q̇ = W
2.熱伝導むずかしい
コンクリート, k = 1.4200 mmれんが, k = 0.7250 mm室内 22 °C屋外 5 °CQ̇ = ?

200 mm のコンクリートと 50 mm のれんがからなる壁が、22 °C の部屋と 5 °C の外気を隔てている。熱伝達率は室内側 6 W/(m²·K)、屋外側 30 W/(m²·K)、壁の面積は 8 m² である。 壁を通る熱損失 Q̇ を求めよ。

L1 = 200 mm, k1 = 1.4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0.72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 5 °C
Q̇ = W
3.熱交換器 (LMTD)ふつう
長さT140 °C65 °C25 °C45 °CΔT₁ΔT₂並流

並流熱交換器が 340 kW を伝える。 伝熱面積は 15 m² である。高温流体は 140 から 65 °C まで冷え、低温流体は 25 から 45 °C まで温まる。熱通過率 U を求めよ。

Q̇ = 340 kWA = 15 m²Th: 140 → 65 °CTc: 25 → 45 °C
U = W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)むずかしい
長さT105 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂凝縮する蒸気

伝熱面積 3 m²、U = 1000 W/(m²·K) の復水器の管の外側で、蒸気が一定の 105 °C で凝縮する。冷却水（0.5 kg/s、cp = 4.18 kJ/(kg·K)）は 20 °C で管に流入する。水の出口温度 Tc,out を求めよ。

Ts = 105 °CA = 3 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 0.5 kg/scp = 4.18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3溶液

1.熱伝導

答え: Q̇ = 129 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

各層の熱抵抗

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0.96·10) = 0.02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0.035·10) = 0.2143 K/W

熱流量

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0.2403 = 129 W

答え

Q̇ = 129 W
2.熱伝導

答え: Q̇ = 329.9 W

熱抵抗：直列の層を通る定常の熱流は、直列抵抗を流れる電流と同じように振る舞います：Q̇ = ΔT/ΣR。伝導層では R = L/(kA)、対流面では R = 1/(hA)。各層の温度降下はその熱抵抗に比例します。

直列の熱抵抗

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0.02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1.4·8) = 0.01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0.72·8) = 0.008681 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0.004167 K/W
ΣR = 0.05154 K/W

熱損失

Q̇ = (22 − (5))/0.05154 = 329.9 W

答え

Q̇ = 329.9 W
3.熱交換器 (LMTD)

答え: U = 417.4 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

両端の温度差

並流では、2 つの入口が同じ端に、2 つの出口がもう一方の端にあります。

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 140 − 25 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 65 − 45 = 20 K

対数平均温度差

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 20)/ln(115/20) = 54.31 K

熱通過率

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 340000/(15·54.31) = 417.4 W/(m²·K)

答え

U = 417.4 W/(m²·K)
4.熱交換器 (LMTD)

答え: Tc,out = 84.77 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

エネルギー収支と伝熱速度の式を組み合わせる

ΔT₁ = Ts − Tc,in、ΔT₂ = Ts − Tc,out とすると、差 ΔT₁ − ΔT₂ は水の温度上昇に等しいので、温度上昇は消去されます。

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·3/(0.5·4180) = 1.435

出口温度

ΔT₂ = ΔT₁·e−1.435 = 85·0.238 = 20.23 K
Tc,out = 105 − 20.23 = 84.77 °C

答え

Tc,out = 84.77 °C

伝熱量：Q̇ = 135.4 kW。

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